Funkcija porazdelitve verjetnosti proti funkciji gostote verjetnosti
Verjetnost je verjetnost, da se dogodek zgodi. Ta ideja je zelo pogosta in se pogosto uporablja v vsakdanjem življenju, ko ocenjujemo svoje priložnosti, transakcije in številne druge stvari. Razširitev tega preprostega koncepta na večji nabor dogodkov je nekoliko bolj zahtevna. Na primer, ne moremo zlahka ugotoviti možnosti za dobitek na loteriji, vendar je priročno, precej intuitivno, če rečemo, da obstaja verjetnost ena od šestih, da bomo pri vrženi kocki dobili številko šest.
Ko postaja število dogodkov, ki se lahko zgodijo, večje ali je število posameznih možnosti veliko, ta precej preprosta ideja verjetnosti odpove. Zato je treba dati trdno matematično definicijo, preden se lotimo problemov z višjo kompleksnostjo.
Ko je število dogodkov, ki se lahko zgodijo v eni sami situaciji veliko, je nemogoče obravnavati vsak dogodek posebej kot na primeru metanja kocke. Zato je celoten niz dogodkov povzet z uvedbo koncepta naključne spremenljivke. Je spremenljivka, ki lahko prevzame vrednosti različnih dogodkov v določeni situaciji (ali vzorčnem prostoru). Enostavnim dogodkom v situaciji daje matematični smisel in matematični način obravnavanja dogodka. Natančneje, naključna spremenljivka je funkcija realne vrednosti nad elementi vzorčnega prostora. Naključne spremenljivke so lahko diskretne ali zvezne. Običajno so označeni z velikimi črkami angleške abecede.
Funkcija porazdelitve verjetnosti (ali preprosto porazdelitev verjetnosti) je funkcija, ki dodeli vrednosti verjetnosti za vsak dogodek; zagotavlja povezavo z verjetnostmi za vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka. Funkcija porazdelitve verjetnosti je definirana za diskretne naključne spremenljivke.
Funkcija gostote verjetnosti je enakovredna funkciji porazdelitve verjetnosti za zvezne naključne spremenljivke, podaja verjetnost, da določena naključna spremenljivka prevzame določeno vrednost.
Če je X diskretna naključna spremenljivka, se funkcija, podana kot f (x)=P (X=x) za vsak x znotraj območja X, imenuje funkcija porazdelitve verjetnosti. Funkcija lahko služi kot funkcija porazdelitve verjetnosti, če in samo če funkcija izpolnjuje naslednje pogoje.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funkcija f (x), ki je definirana nad množico realnih števil, se imenuje funkcija gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X, če in samo če, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx za poljubni realni konstanti a in b.
Funkcija gostote verjetnosti mora izpolnjevati tudi naslednje pogoje.
1. f (x) ≥ 0 za vse x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Tako funkcija porazdelitve verjetnosti kot funkcija gostote verjetnosti se uporabljata za predstavitev porazdelitve verjetnosti v vzorčnem prostoru. Običajno se temu rečejo verjetnostne porazdelitve.
Za statistično modeliranje so izpeljane standardne funkcije gostote verjetnosti in funkcije porazdelitve verjetnosti. Normalna porazdelitev in standardna normalna porazdelitev sta primera zveznih verjetnostnih porazdelitev. Binomska porazdelitev in Poissonova porazdelitev sta primera diskretnih verjetnostnih porazdelitev.
Kakšna je razlika med porazdelitvijo verjetnosti in funkcijo gostote verjetnosti?
• Funkcija porazdelitve verjetnosti in funkcija gostote verjetnosti sta funkciji, definirani v vzorčnem prostoru, za dodelitev ustrezne vrednosti verjetnosti vsakemu elementu.
• Funkcije porazdelitve verjetnosti so definirane za diskretne naključne spremenljivke, medtem ko so funkcije gostote verjetnosti definirane za zvezne naključne spremenljivke.
• Porazdelitev vrednosti verjetnosti (tj. porazdelitve verjetnosti) najbolje prikažeta funkcija gostote verjetnosti in funkcija porazdelitve verjetnosti.
• Funkcijo porazdelitve verjetnosti je mogoče predstaviti kot vrednosti v tabeli, vendar to ni mogoče za funkcijo gostote verjetnosti, ker je spremenljivka zvezna.
• Ko je narisana, funkcija porazdelitve verjetnosti poda stolpčni graf, medtem ko funkcija gostote verjetnosti poda krivuljo.
• Višina/dolžina stolpcev funkcije porazdelitve verjetnosti mora biti dodana 1, medtem ko mora biti površina pod krivuljo funkcije gostote verjetnosti dodana 1.
• V obeh primerih morajo biti vse vrednosti funkcije nenegativne.
