Naključne spremenljivke proti porazdelitvi verjetnosti
Statistični poskusi so naključni poskusi, ki jih je mogoče ponavljati neomejeno dolgo z znanim naborom rezultatov. S takimi poskusi so povezane tako naključne spremenljivke kot verjetnostne porazdelitve. Za vsako naključno spremenljivko obstaja povezana porazdelitev verjetnosti, ki jo definira funkcija, imenovana kumulativna porazdelitvena funkcija.
Kaj je naključna spremenljivka?
Naključna spremenljivka je funkcija, ki dodeljuje številske vrednosti rezultatom statističnega poskusa. Z drugimi besedami, to je funkcija, definirana iz vzorčnega prostora statističnega eksperimenta v niz realnih števil.
Na primer, razmislite o naključnem poskusu dvakratnega vrganja kovanca. Možni rezultati so HH, HT, TH in TT (H – glave, T – zgodbe). Naj bo spremenljivka X število opazovanih glav v poskusu. Potem ima lahko X vrednosti 0, 1 ali 2 in je naključna spremenljivka. Tukaj bo naključna spremenljivka X preslikala niz S={HH, HT, TH, TT} (vzorčni prostor) v niz {0, 1, 2} tako, da je HH preslikan v 2, HT in TH so preslikani v 1 in TT je preslikan v 0. V zapisu funkcije je to lahko zapisano kot X: S → R, kjer je X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 in X(TT)=0.
Obstajata dve vrsti naključnih spremenljivk: diskretne in zvezne, zato je število možnih vrednosti, ki jih lahko prevzame naključna spremenljivka, kvečjemu preštevno ali ne. V prejšnjem primeru je naključna spremenljivka X diskretna naključna spremenljivka, ker je {0, 1, 2} končna množica. Zdaj pa razmislite o statističnem poskusu iskanja uteži učencev v razredu. Naj bo Y naključna spremenljivka, definirana kot teža študenta. Y lahko sprejme katero koli realno vrednost v določenem intervalu. Zato je Y zvezna naključna spremenljivka.
Kaj je porazdelitev verjetnosti?
Porazdelitev verjetnosti je funkcija, ki opisuje verjetnost, da naključna spremenljivka zavzame določene vrednosti.
Funkcijo, imenovano kumulativna porazdelitvena funkcija (F), je mogoče definirati iz množice realnih števil v množico realnih števil kot F(x)=P(X ≤ x) (verjetnost, da je X manjši od ali enako x) za vsak možni rezultat x. Zdaj lahko kumulativno porazdelitveno funkcijo X v prvem primeru zapišemo kot F(a)=0, če je a<0; F(a)=0,25, če je 0≤a<1; F(a)=0,75, če je 1≤a<2 in F(a)=1, če je a≥2.
V primeru diskretnih naključnih spremenljivk je mogoče definirati funkcijo iz množice možnih izidov v množico realnih števil na tak način, da je ƒ(x)=P(X=x) (verjetnost X ki je enak x) za vsak možni rezultat x. Ta posebna funkcija ƒ se imenuje funkcija verjetnostne mase naključne spremenljivke X. Funkcijo verjetnostne mase X v prvem posebnem primeru lahko zapišemo kot ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 in ƒ(x)=0 drugače. Tako bo verjetnostna masna funkcija skupaj s kumulativno porazdelitveno funkcijo opisala verjetnostno porazdelitev X v prvem primeru.
V primeru zveznih naključnih spremenljivk lahko funkcijo, imenovano funkcija gostote verjetnosti (ƒ), definiramo kot ƒ(x)=dF(x)/dx za vsak x, kjer je F kumulativna porazdelitvena funkcija zvezna naključna spremenljivka. Preprosto je videti, da ta funkcija izpolnjuje ∫ƒ(x)dx=1. Funkcija gostote verjetnosti skupaj s funkcijo kumulativne porazdelitve opisuje porazdelitev verjetnosti zvezne naključne spremenljivke. Na primer, normalno porazdelitev (ki je zvezna porazdelitev verjetnosti) je opisana s funkcijo gostote verjetnosti ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Kakšna je razlika med naključnimi spremenljivkami in porazdelitvijo verjetnosti?
• Naključna spremenljivka je funkcija, ki povezuje vrednosti vzorčnega prostora z realnim številom.
• Porazdelitev verjetnosti je funkcija, ki povezuje vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka, z ustrezno verjetnostjo pojava.
