Pravokotnik proti rombu
Romb in pravokotnik sta štirikotnika. Geometrijo teh figur je človek poznal že tisočletja. Tema je izrecno obravnavana v knjigi "Elementi", ki jo je napisal grški matematik Evklid.
paralelogram
Paralelogram lahko definiramo kot geometrijski lik s štirimi stranicami, pri čemer so nasprotne stranice med seboj vzporedne. Natančneje je to štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Ta vzporedna narava daje paralelogramom številne geometrijske značilnosti.
Štirikotnik je paralelogram, če so ugotovljene naslednje geometrijske značilnosti.
• Dva para nasprotnih stranic sta enako dolga. (AB=DC, AD=BC)
• Dva para nasprotnih kotov sta enako velika. ([lateks]D\klobuk{A}B=B\klobuk{C}D, A\klobuk{D}C=A\klobuk{B}C[/lateks])
• Če sta sosednja kota dopolnilna [lateks]D\klobuk{A}B + A\klobuk{D}C=A\klobuk{D}C + B\klobuk{C}D=B\klobuk {C}D + A\klobuk{B}C=A\klobuk{B}C + D\klobuk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Par stranic, ki si nasproti stojita, je vzporeden in enako dolg. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonali se razpolovita (AO=OC, BO=OD)
• Vsaka diagonala deli štirikotnik na dva skladna trikotnika. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To se včasih imenuje zakon paralelograma in ima široko uporabo v fiziki in tehniki. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Vsako od zgornjih značilnosti lahko uporabimo kot lastnosti, ko ugotovimo, da je štirikotnik paralelogram.
Površino paralelograma lahko izračunamo s produktom dolžine ene stranice in višine nasprotne stranice. Zato lahko ploščino paralelograma navedemo kot
Površina paralelograma=osnova × višina=AB×h
Ploščina paralelograma je neodvisna od oblike posameznega paralelograma. Odvisno je le od dolžine osnove in navpične višine.
Če lahko stranice paralelograma predstavimo z dvema vektorjema, lahko ploščino dobimo z velikostjo vektorskega produkta (navzkrižni produkt) dveh sosednjih vektorjev.
Če sta stranici AB in AD predstavljeni z vektorjema ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) oziroma ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), je ploščina paralelogram je podan z [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kjer je α kot med [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] in [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Sledi nekaj naprednih lastnosti paralelograma;
• Ploščina paralelograma je dvakrat večja od ploščine trikotnika, ki ga ustvari katera koli njegova diagonala.
• Ploščino paralelograma deli na pol poljubna premica, ki poteka skozi razpolovišče.
• Vsaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram v drug paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsko simetrijo reda 2
• Vsota razdalj od katere koli notranje točke paralelograma do stranic je neodvisna od lokacije točke
Pravokotnik
Štirikotnik s štirimi pravimi koti je znan kot pravokotnik. To je poseben primer paralelograma, kjer sta kota med katerima koli dvema sosednjima stranicama prava kota.
Poleg vseh lastnosti paralelograma lahko pri upoštevanju geometrije pravokotnika prepoznamo dodatne značilnosti.
• Vsak kot pri ogliščih je pravi kot.
• Diagonali sta enako dolgi in se razpolovita. Zato so tudi razpolovljeni deli enako dolgi.
• Dolžino diagonal je mogoče izračunati s pomočjo Pitagorovega izreka:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Formula ploščine se zmanjša na zmnožek dolžine in širine.
Površina pravokotnika=dolžina × širina
• Veliko simetričnih lastnosti najdemo na pravokotniku, kot je;
– Pravokotnik je cikličen, kjer se lahko vsa oglišča postavijo na obseg kroga.
– Je enakokoten, kjer so vsi koti enaki.
– Je izogonalna, kjer vsi vogali ležijo znotraj iste simetrične orbite.
– Ima odbojno simetrijo in rotacijsko simetrijo.
Romb
Štirikotnik z vsemi stranicami enake dolžine je znan kot romb. Imenuje se tudi enakostranični štirikotnik. Šteje se, da ima obliko diamanta, podobno tistemu v igralnih kartah.
Romb je tudi poseben primer paralelograma. Lahko ga obravnavamo kot paralelogram z vsemi štirimi stranicami enakimi. Poleg lastnosti paralelograma ima še naslednje posebne lastnosti.
• Diagonali romba se pravokotno razpolavljata; diagonale so pravokotne.
• Diagonali razpolovita dva nasprotna notranja kota.
• Vsaj dve sosednji stranici sta enako dolgi.
Ploščino romba lahko izračunate na enak način kot paralelogram.
Kakšna je razlika med rombom in pravokotnikom?
• Romb in pravokotnik sta štirikotnika. Pravokotnik in romb sta posebna primera paralelogramov.
• Ploščino katerega koli lahko izračunate z uporabo formule osnova ×višina.
• Upoštevanje diagonal;
– Diagonali romba se razpolavljata pod pravim kotom in nastali trikotniki so enakostranični.
– Diagonali pravokotnika sta enako dolgi in se razpolovita; razpolovljeni deli so enaki po dolžini. Diagonali razpolovita pravokotnik na dva skladna pravokotna trikotnika.
• Upoštevanje notranjih kotov;
– notranji koti romba so razpolovljeni z diagonalami
– Vsi štirje notranji koti pravokotnika so pravi koti.
• Glede na stranice;
– Ker so v rombu vse štiri stranice enake, je štirikrat kvadrat stranice enak vsoti kvadratov diagonale (z uporabo paralelogramskega zakona)
– V pravokotniku je vsota kvadratov obeh sosednjih stranic enaka kvadratu diagonale na koncih. (Pitagorovo pravilo)
