Paralelogram proti rombu
Paralelogram in romb sta štirikotnika. Geometrijo teh figur je človek poznal že tisočletja. Tema je izrecno obravnavana v knjigi "Elementi", ki jo je napisal grški matematik Evklid.
paralelogram
Paralelogram lahko definiramo kot geometrijski lik s štirimi stranicami, pri čemer so nasprotne stranice med seboj vzporedne. Natančneje je to štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Ta vzporedna narava daje paralelogramom številne geometrijske značilnosti.
Štirikotnik je paralelogram, če so ugotovljene naslednje geometrijske značilnosti.
• Dva para nasprotnih stranic sta enako dolga. (AB=DC, AD=BC)
• Dva para nasprotnih kotov sta enako velika. ([lateks]D\klobuk{A}B=B\klobuk{C}D, A\klobuk{D}C=A\klobuk{B}C[/lateks])
• Če sta sosednja kota dopolnilna [lateks]D\klobuk{A}B + A\klobuk{D}C=A\klobuk{D}C + B\klobuk{C}D=B\klobuk {C}D + A\klobuk{B}C=A\klobuk{B}C + D\klobuk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Par stranic, ki si nasproti stojita, je vzporeden in enako dolg. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonali se razpolovita (AO=OC, BO=OD)
• Vsaka diagonala deli štirikotnik na dva skladna trikotnika. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To se včasih imenuje zakon paralelograma in ima široko uporabo v fiziki in tehniki. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Vsako od zgornjih značilnosti lahko uporabimo kot lastnosti, ko ugotovimo, da je štirikotnik paralelogram.
Površino paralelograma lahko izračunamo s produktom dolžine ene stranice in višine nasprotne stranice. Zato lahko ploščino paralelograma navedemo kot
Površina paralelograma=osnova × višina=AB×h
Ploščina paralelograma je neodvisna od oblike posameznega paralelograma. Odvisno je le od dolžine osnove in navpične višine.
Če lahko stranice paralelograma predstavimo z dvema vektorjema, lahko ploščino dobimo z velikostjo vektorskega produkta (navzkrižni produkt) dveh sosednjih vektorjev.
Če sta stranici AB in AD predstavljeni z vektorjema ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) oziroma ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), je ploščina paralelogram je podan z [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kjer je α kot med [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] in [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Sledi nekaj naprednih lastnosti paralelograma;
• Ploščina paralelograma je dvakrat večja od ploščine trikotnika, ki ga ustvari katera koli njegova diagonala.
• Ploščino paralelograma deli na pol poljubna premica, ki poteka skozi razpolovišče.
• Vsaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram v drug paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsko simetrijo reda 2
• Vsota razdalj od katere koli notranje točke paralelograma do stranic je neodvisna od lokacije točke
Romb
Štirikotnik z vsemi stranicami enake dolžine je znan kot romb. Imenuje se tudi enakostranični štirikotnik. Šteje se, da ima obliko diamanta, podobno tistemu v igralnih kartah.
Romb je tudi poseben primer paralelograma. Lahko ga obravnavamo kot paralelogram z vsemi štirimi stranicami enakimi. Poleg lastnosti paralelograma ima še naslednje posebne lastnosti.
• Diagonali romba se pravokotno razpolavljata; diagonale so pravokotne.
• Diagonali razpolovita dva nasprotna notranja kota.
• Vsaj dve sosednji stranici sta enako dolgi.
Ploščino romba lahko izračunate na enak način kot paralelogram.
Kakšna je razlika med paralelogramom in rombom?
• Paralelogram in romb sta štirikotnika. Romb je poseben primer paralelogramov.
• Ploščino katerega koli lahko izračunate z uporabo formule osnova ×višina.
• Upoštevanje diagonal;
– Diagonali paralelograma se razpolavljata in razpolovita paralelogram, da tvorita dva skladna trikotnika.
– Diagonali romba se razpolavljata pod pravim kotom in nastali trikotniki so enakostranični.
• Upoštevanje notranjih kotov;
– Nasprotna notranja kota paralelograma sta enako velika. Dva sosednja notranja kota sta dopolnilna.
– Notranji koti romba so razpolovljeni z diagonalami.
• Glede na stranice;
– V paralelogramu je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonale (pravo paralelograma).
– Ker so v rombu vse štiri stranice enake, je štirikrat kvadrat stranice enak vsoti kvadratov diagonale.
