paralelogram proti pravokotniku
Paralelogram in pravokotnik sta štirikotnika. Geometrijo teh figur je človek poznal že tisočletja. Tema je izrecno obravnavana v knjigi "Elementi", ki jo je napisal grški matematik Evklid.
paralelogram
Paralelogram lahko definiramo kot geometrijski lik s štirimi stranicami, pri čemer so nasprotne stranice med seboj vzporedne. Natančneje je to štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Ta vzporedna narava daje paralelogramom številne geometrijske značilnosti.
Štirikotnik je paralelogram, če so ugotovljene naslednje geometrijske značilnosti.
• Dva para nasprotnih stranic sta enako dolga. (AB=DC, AD=BC)
• Dva para nasprotnih kotov sta enako velika. ([lateks]D\klobuk{A}B=B\klobuk{C}D, A\klobuk{D}C=A\klobuk{B}C[/lateks])
• Če sta sosednja kota dopolnilna [lateks]D\klobuk{A}B + A\klobuk{D}C=A\klobuk{D}C + B\klobuk{C}D=B\klobuk {C}D + A\klobuk{B}C=A\klobuk{B}C + D\klobuk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Par stranic, ki si nasproti stojita, je vzporeden in enako dolg. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonali se razpolovita (AO=OC, BO=OD)
• Vsaka diagonala deli štirikotnik na dva skladna trikotnika. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To se včasih imenuje zakon paralelograma in ima široko uporabo v fiziki in tehniki. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Vsako od zgornjih značilnosti lahko uporabimo kot lastnosti, ko ugotovimo, da je štirikotnik paralelogram.
Površino paralelograma lahko izračunamo s produktom dolžine ene stranice in višine nasprotne stranice. Zato lahko ploščino paralelograma navedemo kot
Površina paralelograma=osnova × višina=AB×h
Ploščina paralelograma je neodvisna od oblike posameznega paralelograma. Odvisno je le od dolžine osnove in navpične višine.
Če lahko stranice paralelograma predstavimo z dvema vektorjema, lahko ploščino dobimo z velikostjo vektorskega produkta (navzkrižni produkt) dveh sosednjih vektorjev.
Če strani AB in AD predstavljata vektorja ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) oziroma ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) oz. paralelogram je podan z [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kjer je α kot med [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] in [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Sledi nekaj naprednih lastnosti paralelograma;
• Ploščina paralelograma je dvakrat večja od ploščine trikotnika, ki ga ustvari katera koli njegova diagonala.
• Ploščino paralelograma deli na pol poljubna premica, ki poteka skozi razpolovišče.
• Vsaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram v drug paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsko simetrijo reda 2
• Vsota razdalj od katere koli notranje točke paralelograma do stranic je neodvisna od lokacije točke
Pravokotnik
Štirikotnik s štirimi pravimi koti je znan kot pravokotnik. To je poseben primer paralelograma, kjer sta kota med katerima koli dvema sosednjima stranicama prava kota.
Poleg vseh lastnosti paralelograma lahko pri upoštevanju geometrije pravokotnika prepoznamo dodatne značilnosti.
• Vsak kot pri ogliščih je pravi kot.
• Diagonali sta enako dolgi in se razpolovita. Zato so tudi razpolovljeni deli enako dolgi.
• Dolžino diagonal je mogoče izračunati s pomočjo Pitagorovega izreka:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Formula ploščine se zmanjša na zmnožek dolžine in širine.
Površina pravokotnika=dolžina × širina
• Veliko simetričnih lastnosti najdemo na pravokotniku, kot je;
– Pravokotnik je cikličen, kjer se lahko vsa oglišča postavijo na obseg kroga.
– Je enakokoten, kjer so vsi koti enaki.
– Je izogonalna, kjer vsi vogali ležijo znotraj iste simetrične orbite.
– Ima odbojno simetrijo in rotacijsko simetrijo.
Kakšna je razlika med paralelogramom in pravokotnikom?
• Paralelogram in pravokotnik sta štirikotnika. Pravokotnik je poseben primer paralelogramov.
• Ploščino katerega koli lahko izračunate z uporabo formule osnova ×višina.
• Upoštevanje diagonal;
– Diagonali paralelograma se razpolavljata in razpolovita paralelogram, da tvorita dva skladna trikotnika.
– Diagonali pravokotnika sta enako dolgi in se razpolovita; razpolovljeni deli so enaki po dolžini. Diagonali razpolovita pravokotnik na dva skladna pravokotna trikotnika.
• Upoštevanje notranjih kotov;
– Nasprotna notranja kota paralelograma sta enako velika. Dva sosednja notranja kota sta dopolnilna
– Vsi štirje notranji koti pravokotnika so pravi koti.
• Glede na stranice;
– V paralelogramu je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonale (zakon paralelograma)
– V pravokotniku je vsota kvadratov obeh sosednjih stranic enaka kvadratu diagonale na koncih. (Pitagorovo pravilo)
