paralelogram proti štirikotniku
Štirikotniki in paralelogrami so mnogokotniki, ki jih najdemo v evklidski geometriji. Paralelogram je poseben primer štirikotnika. Štirikotniki so lahko ravni (2D) ali tridimenzionalni, medtem ko so paralelogrami vedno ravni.
štirikotnik
Štirikotnik je mnogokotnik s štirimi stranicami. Ima štiri oglišča, vsota notranjih kotov pa je 3600 (2π rad). Štirikotniki so razvrščeni v kategorije samosekajočih se in preprostih štirikotnikov. Štirikotniki, ki se sekajo sami, imajo dve ali več strani, ki se križajo, znotraj štirikotnika pa so oblikovani manjši geometrijski liki (kot so trikotniki).
Enostavne štirikotnike delimo tudi na konveksne in konkavne štirikotnike. Konkavni štirikotniki imajo sosednje stranice, ki tvorijo refleksne kote znotraj figure. Preprosti štirikotniki, ki nimajo notranjih refleksnih kotov, so konveksni štirikotniki. Konveksni štirikotniki imajo lahko vedno teselacije.
Velik del geometrije štirikotnikov na začetnih stopnjah se nanaša na konveksne štirikotnike. Nekatere štirikotnike poznamo že iz časov osnovnih šol. Sledi diagram, ki prikazuje različne konveksne štirikotnike.
paralelogram
Paralelogram lahko definiramo kot geometrijski lik s štirimi stranicami, pri čemer so nasprotne stranice med seboj vzporedne. Natančneje je to štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Ta vzporedna narava daje paralelogramom številne geometrijske značilnosti.
Štirikotnik je paralelogram, če so ugotovljene naslednje geometrijske značilnosti.
• Dva para nasprotnih stranic sta enako dolga. (AB=DC, AD=BC)
• Dva para nasprotnih kotov sta enako velika. ([lateks]D\klobuk{A}B=B\klobuk{C}D, A\klobuk{D}C=A\klobuk{B}C[/lateks])
• Če sta sosednja kota dopolnilna [lateks]D\klobuk{A}B + A\klobuk{D}C=A\klobuk{D}C + B\klobuk{C}D=B\klobuk {C}D + A\klobuk{B}C=A\klobuk{B}C + D\klobuk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Par stranic, ki si nasproti stojita, je vzporeden in enako dolg. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonali se razpolovita (AO=OC, BO=OD)
• Vsaka diagonala deli štirikotnik na dva skladna trikotnika. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To se včasih imenuje zakon paralelograma in ima široko uporabo v fiziki in tehniki. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Vsako od zgornjih značilnosti lahko uporabimo kot lastnosti, ko ugotovimo, da je štirikotnik paralelogram.
Površino paralelograma lahko izračunamo s produktom dolžine ene stranice in višine nasprotne stranice. Zato lahko ploščino paralelograma navedemo kot
Površina paralelograma=osnova × višina=AB×h
Ploščina paralelograma je neodvisna od oblike posameznega paralelograma. Odvisno je le od dolžine osnove in navpične višine.
Če lahko stranice paralelograma predstavimo z dvema vektorjema, lahko ploščino dobimo z velikostjo vektorskega produkta (navzkrižni produkt) dveh sosednjih vektorjev.
Če strani AB in AD predstavljata vektorja ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) oziroma ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) oz. paralelogram je podan z [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kjer je α kot med [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] in [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Sledi nekaj naprednih lastnosti paralelograma;
• Ploščina paralelograma je dvakrat večja od ploščine trikotnika, ki ga ustvari katera koli njegova diagonala.
• Ploščino paralelograma deli na pol poljubna premica, ki poteka skozi razpolovišče.
• Vsaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram v drug paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsko simetrijo reda 2
• Vsota razdalj od katere koli notranje točke paralelograma do stranic je neodvisna od lokacije točke
Kakšna je razlika med paralelogramom in štirikotnikom?
• Štirikotniki so mnogokotniki s štirimi stranicami (včasih jih imenujemo tudi štirikotniki), medtem ko je paralelogram posebna vrsta štirikotnika.
• Štirikotniki imajo lahko stranice v različnih ravninah (v 3D prostoru), medtem ko vse stranice paralelograma ležijo na isti ravnini (ravninski/dvodimenzionalni).
• Notranji koti štirikotnika imajo lahko poljubno vrednost (vključno z refleksnimi koti), tako da njihov seštevek znaša 3600. Paralelogrami imajo lahko samo topi kot kot največjo vrsto kota.
• Štiri stranice štirikotnika so lahko različno dolge, medtem ko so nasprotne stranice paralelograma med seboj vedno vzporedne in enako dolge.
• Katera koli diagonala deli paralelogram na dva skladna trikotnika, medtem ko trikotniki, ki jih tvori diagonala splošnega štirikotnika, niso nujno skladni.
