Paralelogram proti trapezu
Paralelogram in trapez (ali trapez) sta dva konveksna štirikotnika. Čeprav so to štirikotniki, se geometrija trapeza bistveno razlikuje od paralelogramov.
paralelogram
Paralelogram lahko definiramo kot geometrijski lik s štirimi stranicami, pri čemer so nasprotne stranice med seboj vzporedne. Natančneje je to štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Ta vzporedna narava daje paralelogramom številne geometrijske značilnosti.
Štirikotnik je paralelogram, če so ugotovljene naslednje geometrijske značilnosti.
• Dva para nasprotnih stranic sta enako dolga. (AB=DC, AD=BC)
• Dva para nasprotnih kotov sta enako velika. ([lateks]D\klobuk{A}B=B\klobuk{C}D, A\klobuk{D}C=A\klobuk{B}C[/lateks])
• Če sta sosednja kota dopolnilna [lateks]D\klobuk{A}B + A\klobuk{D}C=A\klobuk{D}C + B\klobuk{C}D=B\klobuk {C}D + A\klobuk{B}C=A\klobuk{B}C + D\klobuk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Par stranic, ki si nasproti stojita, je vzporeden in enako dolg. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonali se razpolovita (AO=OC, BO=OD)
• Vsaka diagonala deli štirikotnik na dva skladna trikotnika. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To se včasih imenuje zakon paralelograma in ima široko uporabo v fiziki in tehniki. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Vsako od zgornjih značilnosti lahko uporabimo kot lastnosti, ko ugotovimo, da je štirikotnik paralelogram.
Površino paralelograma lahko izračunamo s produktom dolžine ene stranice in višine nasprotne stranice. Zato lahko ploščino paralelograma navedemo kot
Površina paralelograma=osnova × višina=AB×h
Ploščina paralelograma je neodvisna od oblike posameznega paralelograma. Odvisno je le od dolžine osnove in navpične višine.
Če lahko stranice paralelograma predstavimo z dvema vektorjema, lahko ploščino dobimo z velikostjo vektorskega produkta (navzkrižni produkt) dveh sosednjih vektorjev.
Če sta stranici AB in AD predstavljeni z vektorjema ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) oziroma ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), je ploščina paralelogram je podan z [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kjer je α kot med [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] in [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Sledi nekaj naprednih lastnosti paralelograma;
• Ploščina paralelograma je dvakrat večja od ploščine trikotnika, ki ga ustvari katera koli njegova diagonala.
• Ploščino paralelograma deli na pol poljubna premica, ki poteka skozi razpolovišče.
• Vsaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram v drug paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsko simetrijo reda 2
• Vsota razdalj od katere koli notranje točke paralelograma do stranic je neodvisna od lokacije točke
trapez
Trapez (ali Trapezium v britanski angleščini) je konveksen štirikotnik, pri katerem sta vsaj dve stranici vzporedni in neenakih dolžin. Vzporedni stranici trapeza sta znani kot osnovici, drugi dve strani pa se imenujeta kraka.
Sledi glavne značilnosti trapeza;
• Če sosednja kota ne ležita na isti podlagi trapeza, sta to suplementna kota. seštejejo 180° ([lateks]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/lateks])
• Obe diagonali trapeza se sekata v enakem razmerju (razmerje med presekoma diagonal je enako).
• Če sta a in b osnovici ter c, d kraka, so dolžine diagonal podane z
[lateks]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/lateks]
in
[lateks]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/lateks]
Površino trapeza lahko izračunate z naslednjo formulo
Površina trapeza=[lateks]\frac{a+b}{2}\krat h[/lateks]
Kakšna je razlika med paralelogramom in trapezom (trapezom)?
• Tako paralelogram kot trapez sta konveksna štirikotnika.
• V paralelogramu sta oba para nasprotnih stranic vzporedna, v trapezu pa je vzporeden samo en par.
• Diagonali paralelograma se razpolavljata (razmerje 1:1), medtem ko se diagonali trapeza sekata s konstantnim razmerjem med odseki.
• Ploščina paralelograma je odvisna od višine in osnove, medtem ko je ploščina trapeza odvisna od višine in središča.
• Dva trikotnika, ki ju tvori diagonala v paralelogramu, sta vedno skladna, medtem ko sta trikotnika trapeza lahko skladna ali ne.
