Fourierjev niz proti Fourierjevi transformaciji
Fourierjeva vrsta razgradi periodično funkcijo v vsoto sinusov in kosinusov z različnimi frekvencami in amplitudami. Fourierjeva vrsta je veja Fourierjeve analize in jo je uvedel Joseph Fourier. Fourierjeva transformacija je matematična operacija, ki razdeli signal na njegove sestavne frekvence. Prvotni signal, ki se je sčasoma spremenil, se imenuje predstavitev signala v časovni domeni. Fourierjeva transformacija se imenuje predstavitev signala v frekvenčni domeni, saj je odvisna od frekvence. Predstavitev signala v frekvenčni domeni in postopek, uporabljen za pretvorbo tega signala v frekvenčno domeno, se imenujeta Fourierjeva transformacija.
Kaj so Fourierjevi nizi?
Kot smo že omenili, je Fourierjeva vrsta razširitev periodične funkcije z uporabo neskončne vsote sinusov in kosinusov. Fourierjeva vrsta je bila sprva razvita pri reševanju toplotnih enačb, kasneje pa je bilo ugotovljeno, da je mogoče isto tehniko uporabiti za reševanje velikega niza matematičnih problemov, zlasti problemov, ki vključujejo linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti. Zdaj ima Fourierjeva serija aplikacije na številnih področjih, vključno z elektrotehniko, analizo vibracij, akustiko, optiko, obdelavo signalov, obdelavo slik, kvantno mehaniko in ekonometrijo. Fourierjeve vrste uporabljajo razmerja ortogonalnosti sinusnih in kosinusnih funkcij. Izračun in preučevanje Fourierjevih vrst je znano kot harmonična analiza in je zelo uporabno pri delu s poljubnimi periodičnimi funkcijami, saj omogoča razdelitev funkcije na preproste izraze, ki jih je mogoče uporabiti za rešitev prvotnega problema.
Kaj je Fourierjeva transformacija?
Fourierjeva transformacija definira odnos med signalom v časovni domeni in njegovo predstavitvijo v frekvenčni domeni. Fourierjeva transformacija razgradi funkcijo na oscilacijske funkcije. Ker gre za transformacijo, lahko izvirni signal pridobimo s poznavanjem transformacije, zato se v procesu ne ustvari ali izgubi nobena informacija. Preučevanje Fourierjevih vrst dejansko daje motivacijo za Fourierjevo transformacijo. Zaradi lastnosti sinusov in kosinusov je mogoče pridobiti količino vsakega vala, ki prispeva k vsoti, z uporabo integrala. Fourierjeva transformacija ima nekaj osnovnih lastnosti, kot so linearnost, prevajanje, modulacija, skaliranje, konjugacija, dualnost in konvolucija. Fourierjeva transformacija se uporablja pri reševanju diferencialnih enačb, saj je Fourierjeva transformacija tesno povezana z Laplaceovo transformacijo. Fourierjeva transformacija se uporablja tudi v jedrski magnetni resonanci (NMR) in v drugih vrstah spektroskopije.
Razlika med Fourierjevim nizom in Fourierjevo transformacijo
Fourierjeva vrsta je razširitev periodičnega signala kot linearne kombinacije sinusov in kosinusov, medtem ko je Fourierjeva transformacija postopek ali funkcija, ki se uporablja za pretvorbo signalov iz časovne v frekvenčno domeno. Fourierjeva vrsta je definirana za periodične signale in Fourierjevo transformacijo je mogoče uporabiti za aperiodične (ki se pojavljajo brez periodičnosti) signale. Kot je navedeno zgoraj, preučevanje Fourierjevih vrst dejansko daje motivacijo za Fourierjevo transformacijo.
