Laplace proti Fourierjevi transformaciji
Tako Laplaceova kot Fourierjeva transformacija sta integralni transformaciji, ki se najpogosteje uporabljata kot matematične metode za reševanje matematično modeliranih fizičnih sistemov. Postopek je preprost. Kompleksen matematični model se pretvori v enostavnejši, rešljiv model z uporabo integralne transformacije. Ko je enostavnejši model rešen, se uporabi inverzna integralna transformacija, ki bi zagotovila rešitev izvirnega modela.
Na primer, ker večina fizikalnih sistemov povzroči diferencialne enačbe, jih je mogoče pretvoriti v algebraične enačbe ali v nižje stopnje enostavno rešljive diferencialne enačbe z uporabo integralne transformacije. Potem bo reševanje problema lažje.
Kaj je Laplaceova transformacija?
Dana je funkcija f (t) realne spremenljivke t, je njena Laplaceova transformacija definirana z integralom [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (kadar koli obstaja), ki je funkcija kompleksne spremenljivke s. Običajno ga označimo z L { f (t)}. Inverzna Laplaceova transformacija funkcije F (s) je funkcija f (t) tako, da je L { f (t)}=F (s), v običajnem matematičnem zapisu pa zapišemo L-1{ F (s)}=f (t). Inverzno transformacijo lahko naredite edinstveno, če ničelne funkcije niso dovoljene. Ta dva lahko identificiramo kot linearna operatorja, definirana v funkcijskem prostoru, prav tako pa je enostavno videti, da L -1{ L { f (t)}}=f (t), če ničelne funkcije niso dovoljene.
Naslednja tabela navaja Laplaceove transformacije nekaterih najpogostejših funkcij.
Kaj je Fourierjeva transformacija?
Dana je funkcija f (t) realne spremenljivke t, je njena Laplaceova transformacija definirana z integralom [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (kadar koli obstaja) in je običajno označen s F { f (t)}. Inverzna transformacija F -1{ F (α)} je podana z integralom [lateks] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourierjeva transformacija je tudi linearna in si jo lahko predstavljamo kot operator, definiran v funkcijskem prostoru.
Z uporabo Fourierove transformacije lahko izvirno funkcijo zapišemo na naslednji način pod pogojem, da ima funkcija samo končno število diskontinuitet in je absolutno integrabilna.
Kakšna je razlika med Laplaceovo in Fourierovo transformacijo?
- Fourierjeva transformacija funkcije f (t) je definirana kot [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], medtem ko je njegova laplaceova transformacija definirana kot [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourierjeva transformacija je definirana samo za funkcije, definirane za vsa realna števila, medtem ko Laplaceova transformacija ne zahteva, da je funkcija definirana na nizu negativnih realnih števil.
- Fourierjeva transformacija je poseben primer Laplaceove transformacije. Vidimo, da oboje sovpada pri nenegativnih realnih številih. (tj. vzemite s v Laplaceu za iα + β, kjer sta α in β realna, tako da je e β=1/ √(2ᴫ))
- Vsaka funkcija, ki ima Fourierjevo transformacijo, bo imela Laplaceovo transformacijo, ne pa tudi obratno.
