Razlika med binomsko in normalno porazdelitvijo

2024 Avtor: Alex Aldridge | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 13:49

Binomska proti normalni porazdelitvi

Verjetnostne porazdelitve naključnih spremenljivk igrajo pomembno vlogo na področju statistike. Od teh verjetnostnih porazdelitev se v resničnem življenju najpogosteje pojavljata binomska in normalna porazdelitev.

Kaj je binomska porazdelitev?

Binomska porazdelitev je verjetnostna porazdelitev, ki ustreza naključni spremenljivki X, ki je število uspehov končnega zaporedja neodvisnih poskusov da/ne, od katerih ima vsak verjetnost uspeha p. Iz definicije X je razvidno, da je diskretna naključna spremenljivka; zato je tudi binomska porazdelitev diskretna.

Porazdelitev je označena kot X ~ B (n, p), kjer je n število poskusov in p verjetnost uspeha. V skladu s teorijo verjetnosti lahko sklepamo, da B (n, p) sledi verjetnostni masni funkciji [lateks] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/lateks]. Iz te enačbe je mogoče razbrati, da sta pričakovana vrednost X, E(X)=np in varianca X, V(X)=np (1- p).

Na primer, razmislite o naključnem poskusu trikratnega vrganja kovanca. Uspeh opredelite kot pridobitev H, neuspeh kot pridobitev T in naključno spremenljivko X kot število uspehov v poskusu. Potem je X ~ B (3, 0,5) in funkcija verjetnostne mase X, podana z [lateks] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Zato je verjetnost, da dobimo vsaj 2 H, P(X ≥ 2)=P (X=2 ali X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Kaj je normalna porazdelitev?

Normalna porazdelitev je zvezna porazdelitev verjetnosti, definirana s funkcijo gostote verjetnosti, [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateks]. Parametra [latex] \mu in \\sigma [/latex] označujeta povprečje in standardni odklon populacije, ki nas zanima. Ko je [latex] \mu=0 in \\sigma=1 [/latex] se porazdelitev imenuje standardna normalna porazdelitev.

Ta porazdelitev se imenuje normalna, ker večina naravnih pojavov sledi normalni porazdelitvi. Na primer, IQ človeške populacije je normalno porazdeljen. Kot je razvidno iz grafa, je unimodalno, simetrično glede na povprečje in ima zvonasto obliko. Srednja vrednost, način in mediana sovpadajo. Površina pod krivuljo ustreza deležu populacije, ki izpolnjuje dani pogoj.

Deli populacije v intervalu [lateks] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] sta približno 68,2 %, 95,6 % in 99,8 % oziroma.

Kakšna je razlika med binomsko in normalno porazdelitvijo?

• Binomska porazdelitev je diskretna porazdelitev verjetnosti, medtem ko je normalna porazdelitev zvezna.
• Funkcija verjetnostne mase binomske porazdelitve je [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], medtem ko je funkcija gostote verjetnosti normalne porazdelitve [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateks]
• Binomska porazdelitev je pod določenimi pogoji približana normalni porazdelitvi, ne pa obratno.