Razlika med aritmetičnim zaporedjem in geometrijskim zaporedjem

2024 Avtor: Alex Aldridge | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-17 23:46

Aritmetično zaporedje proti geometrijskemu zaporedju

Preučevanje vzorcev števil in njihovega obnašanja je pomembna študija na področju matematike. Pogosto je te vzorce mogoče videti v naravi in nam pomagajo razložiti njihovo vedenje z znanstvenega vidika. Aritmetična zaporedja in geometrijska zaporedja sta dva izmed osnovnih vzorcev, ki se pojavljata v številih in ju pogosto najdemo v naravnih pojavih.

Zaporedje je niz urejenih števil. Število elementov v zaporedju je lahko končno ali neskončno.

Več o aritmetičnem zaporedju (aritmetrična progresija)

Aritmetično zaporedje je definirano kot zaporedje števil s konstantno razliko med vsakim zaporednim členom. Znana je tudi kot aritmetična progresija.

Aritmetično zaporedje ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; kjer je a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d in tako naprej.}

Če je začetni člen a₁ in je skupna razlika d, potem je n^{th člen zaporedja podan z;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Z nadaljevanjem zgornjega rezultata lahko n^{th izraz podamo tudi kot;}

a_n =a_m + (n-m)d, kjer je a_{m naključen izraz v zaporedju tako, da je n > m.}

Množica sodih števil in množica lihih števil sta najenostavnejša primera aritmetičnih zaporedij, kjer ima vsako zaporedje skupno razliko (d) 2.

Število členov v zaporedju je lahko neskončno ali končno. V neskončnem primeru (n → ∞) se zaporedje nagiba k neskončnosti glede na skupno razliko (a_{n → ±∞). Če je skupna razlika pozitivna (d > 0), teži zaporedje k pozitivni neskončnosti, če je skupna razlika negativna (d < 0), pa teži k negativni neskončnosti. Če so členi končni, je končno tudi zaporedje.}

Vsota členov v aritmetičnem zaporedju je znana kot aritmetična vrsta: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{in S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] daje vrednost serija (S}n)

Več o geometrijskem zaporedju (geometrična progresija)

Geometrijsko zaporedje je definirano kot zaporedje, v katerem je kvocient dveh zaporednih členov konstanta. To je znano tudi kot geometrijska progresija.

Geometrijsko zaporedje ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; kjer je a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r in tako naprej, kjer je r realno število.}

Geometrijsko zaporedje je lažje predstaviti z uporabo skupnega razmerja (r) in začetnega člena (a). Od tod geometrijsko zaporedje ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Splošna oblika n^th izrazov, podana z _n =a₁r ^n-1. (Izguba indeksa začetnega člena ⇒ a_n =ar^n-1)

Geometrijsko zaporedje je lahko tudi končno ali neskončno. Če je število členov končno, pravimo, da je zaporedje končno. In če je členov neskončno, je lahko zaporedje neskončno ali končno, odvisno od razmerja r. Skupno razmerje vpliva na številne lastnosti v geometrijskih zaporedjih.

r > o	0 < r < +1	Zaporedje konvergira – eksponentni razpad, tj. an → 0, n → ∞
	r=1	Konstantno zaporedje, tj. an=konstanta
	r > 1	Zaporedje se razhaja – eksponentna rast, tj. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Zaporedje niha, vendar konvergira
	r=1	Zaporedje je izmenično in konstantno, tj. an=±konstanta
	r < -1	Zaporedje je izmenično in se razhaja. tj. an → ±∞, n → ∞
r=0	Zaporedje je niz ničel

Opomba: V vseh zgornjih primerih je a₁ > 0; če je a₁ < 0, bodo znaki, povezani z a_{n, obrnjeni.}

Časovni interval med odboji žoge sledi geometrijskemu zaporedju v idealnem modelu in je konvergentno zaporedje.

Vsota členov geometrijskega zaporedja je znana kot geometrijska vrsta; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Vsoto geometrijskega niza je mogoče izračunati z naslednjo formulo.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); kjer je a začetni člen in r je razmerje.}

Če je razmerje, r ≤ 1, vrsta konvergira. Za neskončno vrsto je vrednost konvergence podana s S_n=a/(1-r)

Kakšna je razlika med aritmetičnim in geometrijskim zaporedjem/progresijo?

• V aritmetičnem zaporedju imata katera koli dva zaporedna člena skupno razliko (d), medtem ko imata v geometrijskem zaporedju katera koli dva zaporedna člena konstanten količnik (r).

• V aritmetičnem zaporedju je variacija členov linearna, kar pomeni, da lahko narišemo ravno črto, ki poteka skozi vse točke. V geometrijskem nizu je variacija eksponentna; raste ali propada glede na skupno razmerje.

• Vsa neskončna aritmetična zaporedja so divergentna, medtem ko so neskončne geometrijske vrste lahko divergentne ali konvergentne.

• Geometrijski niz lahko prikazuje nihanje, če je razmerje r negativno, medtem ko aritmetični niz ne prikazuje nihanja