Diskretna funkcija proti zvezni funkciji
Funkcije so eden najpomembnejših razredov matematičnih objektov, ki se pogosto uporabljajo na skoraj vseh podpoljih matematike. Kot nakazujeta njihova imena, sta tako diskretne kot zvezne funkcije dve posebni vrsti funkcij.
Funkcija je relacija med dvema nizoma, definirana tako, da je za vsak element v prvem nizu vrednost, ki mu ustreza v drugem nizu, edinstvena. Naj bo f funkcija, definirana iz množice A v množico B. Nato za vsak x ϵ A simbol f (x) označuje edinstveno vrednost v množici B, ki ustreza x. Imenuje se slika x pod f. Zato je relacija f iz A v B funkcija, če in samo če je za vsak xϵ A in y ϵ A; če je x=y, potem je f (x)=f (y). Množica A se imenuje domena funkcije f in je množica, v kateri je funkcija definirana.
Na primer, upoštevajte relacijo f iz R v R, definirano s f (x)=x + 2 za vsak xϵ A. To je funkcija, katere domena je R, saj za vsako realno število x in y x=y implicira f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Toda relacija g iz N v N, definirana z g (x)=a, kjer je 'a' prafaktor od x, ni funkcija, ker g (6)=3, kot tudi g (6)=2.
Kaj je diskretna funkcija?
Diskretna funkcija je funkcija, katere domena je kvečjemu števna. Preprosto to pomeni, da je možno narediti seznam, ki vključuje vse elemente domene.
Vsaka končna množica je kvečjemu števna. Množica naravnih števil in množica racionalnih števil sta primera za največ štetne neskončne množice. Množica realnih števil in množica iracionalnih števil nista kvečjemu preštevi. Oba sklopa sta nešteta. To pomeni, da je nemogoče narediti seznam, ki bi vključeval vse elemente teh množic.
Ena najpogostejših diskretnih funkcij je faktoriel. f:N U{0}→N, ki je rekurzivno definirana s f (n)=n f (n-1) za vsak n ≥ 1 in f (0)=1, se imenuje faktorialna funkcija. Upoštevajte, da je njegova domena N U{0} največ štetna.
Kaj je zvezna funkcija?
Naj bo f taka funkcija, da za vsak k v domeni f velja f (x)→ f (k) kot x → k. Potem je f zvezna funkcija. To pomeni, da je mogoče narediti f (x) poljubno blizu f (k), tako da je x dovolj blizu k za vsak k v domeni f.
Upoštevajte funkcijo f (x)=x + 2 na R. Vidimo lahko, da je pri x → k, x + 2 → k + 2 f (x) → f (k). Zato je f zvezna funkcija. Zdaj pa upoštevajte g na pozitivnih realnih številih g (x)=1, če je x > 0, in g (x)=0, če je x=0. Potem ta funkcija ni zvezna funkcija, saj meja g (x) ne obstaja (in zato ni enaka g (0)), ko je x → 0.
Kakšna je razlika med diskretno in zvezno funkcijo?
• Diskretna funkcija je funkcija, katere domena je kvečjemu števna, ni pa nujno, da je tako v zveznih funkcijah.
• Vse zvezne funkcije ƒ imajo lastnost, da je ƒ(x)→ƒ(k) kot x → k za vsak x in za vsak k v domeni ƒ, vendar v nekaterih diskretnih funkcijah ni tako.
