Razlika med logaritemsko in eksponentno

2024 Avtor: Alex Aldridge | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 13:49

Logaritemsko proti eksponentnemu | Eksponentna funkcija proti logaritemski funkciji

Funkcije so eden najpomembnejših razredov matematičnih objektov, ki se v veliki meri uporabljajo na skoraj vseh podpodročjih matematike. Kot nakazujeta njuni imeni, sta eksponentna in logaritemska funkcija dve posebni funkciji.

Funkcija je relacija med dvema nizoma, definirana tako, da je za vsak element v prvem nizu vrednost, ki mu ustreza v drugem nizu, edinstvena. Naj bo ƒ funkcija, definirana iz množice A v množico B. Nato za vsak x ϵ A simbol ƒ(x) označuje edinstveno vrednost v množici B, ki ustreza x. Imenuje se slika x pod ƒ. Zato je relacija ƒ iz A v B funkcija, če in samo če za vsak x ϵ A in y ϵ A, če je x=y, potem je ƒ(x)=ƒ(y). Množica A se imenuje domena funkcije ƒ in je množica, v kateri je funkcija definirana.

Kaj je eksponentna funkcija?

Eksponentna funkcija je funkcija, podana z ƒ(x)=e^x, kjer je e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) in je transcendentno iracionalno število. Ena od posebnosti funkcije je, da je odvod funkcije enak sam sebi; tj. ko je y=e^x, dy/dx=e^x Poleg tega je funkcija povsod neprekinjeno naraščajoča funkcija, ki ima os x kot asimptoto. Zato je tudi funkcija ena proti ena. Za vsak x ϵ R imamo, da je e^x> 0, in lahko pokažemo, da je na R ⁺ Prav tako sledi osnovni identiteti e^x+y=e^xe^y in e⁰ =1. Funkcijo lahko predstavimo tudi z razširitvijo niza, podano z 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

Kaj je logaritemska funkcija?

Logaritemska funkcija je inverzna eksponentni funkciji. Ker je eksponentna funkcija ena proti ena in na R ⁺, lahko funkcijo g definiramo iz množice pozitivnih realnih števil v množico realnih števil, podanih z g(y)=x, če in samo če, y=e^x Ta funkcija g se imenuje logaritemska funkcija ali najpogosteje kot naravni logaritem. Označeno je z g(x)=log e^{x=ln x. Ker je inverzna eksponentni funkciji, če vzamemo odsev grafa eksponentne funkcije preko premice y=x, potem dobimo graf logaritemske funkcije. Tako je funkcija asimptotična glede na os y.}

Logaritemska funkcija sledi nekaterim osnovnim pravilom, med katerimi so najpomembnejša ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y in ln xy=y ln x. To je tudi naraščajoča funkcija in je neprekinjena povsod. Zato je tudi ena proti ena. Lahko se pokaže, da je na R.

Kakšna je razlika med eksponentno in logaritemsko funkcijo?

• Eksponentna funkcija je podana z ƒ(x)=e^{x, medtem ko je logaritemska funkcija podana z g(x)=ln x, prva pa je obratna funkcija zadnje.}

• Domena eksponentne funkcije je množica realnih števil, domena logaritemske funkcije pa je množica pozitivnih realnih števil.

• Obseg eksponentne funkcije je niz pozitivnih realnih števil, obseg logaritemske funkcije pa niz realnih števil.