Izpeljanka proti diferencialu
V diferencialnem računu sta odvod in diferencial funkcije tesno povezana, vendar imata zelo različne pomene in se uporabljata za predstavitev dveh pomembnih matematičnih objektov, povezanih z diferenciabilnimi funkcijami.
Kaj je derivat?
Izpeljanka funkcije meri hitrost, s katero se spreminja vrednost funkcije, ko se spreminja njen vnos. Pri funkcijah z več spremenljivkami je sprememba vrednosti funkcije odvisna od smeri spremembe vrednosti neodvisnih spremenljivk. Zato se v takih primerih izbere določena smer in funkcija se diferencira v tej določeni smeri. Ta odvod se imenuje usmerjeni odvod. Delni derivati so posebna vrsta smernih derivatov.
Izpeljavo vektorsko vredne funkcije f lahko definiramo kot limit [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] kjerkoli obstaja končno. Kot smo že omenili, nam to poda hitrost naraščanja funkcije f vzdolž smeri vektorja u. V primeru funkcije z eno vrednostjo se to zmanjša na dobro znano definicijo odvoda [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Na primer, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je povsod razločljiv in odvod je enak meji, [latex]\\lim_{h \\do 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], kar je enako [latex]3x^{2}+4[/latex]. Izpeljanke funkcij, kot so [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex], obstajajo povsod. Enako sta funkciji [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
To je znano kot prva izpeljanka. Običajno je prvi odvod funkcije f označen s f (1) S tem zapisom je zdaj mogoče definirati odvode višjega reda. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je smerni derivat drugega reda in označuje n th derivacijo s f (n) za vsak n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definira n th derivat.
Kaj je razlika?
Diferencial funkcije predstavlja spremembo funkcije glede na spremembe neodvisne spremenljivke ali spremenljivk. V običajnem zapisu je za dano funkcijo f posamezne spremenljivke x skupni diferencial reda 1 df podan z [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. To pomeni, da bo za neskončno majhno spremembo x (tj. d x) prišlo do f (1)(x)d x spremembe f.
Z uporabo omejitev lahko končate s to definicijo, kot sledi. Predpostavimo, da je ∆ x sprememba x v poljubni točki x in ∆ f ustrezna sprememba funkcije f. Lahko se pokaže, da je ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, kjer je ϵ napaka. Zdaj meja ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (z uporabo prej navedene definicije odvoda) in tako ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Zato je mogoče sklepamo, da je ∆ x→ 0 ϵ=0. Sedaj, če označimo ∆ x→ 0 ∆ f kot d f in ∆ x→ 0 ∆ x kot d x, dobimo definicijo diferenciala.
Na primer, diferencial funkcije [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je [latex](3x^{2}+4)dx[/lateks].
V primeru funkcij dveh ali več spremenljivk je skupni diferencial funkcije definiran kot vsota diferencialov v smereh vsake od neodvisnih spremenljivk. Matematično se lahko izrazi kot [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Kakšna je razlika med odvodom in diferencialom?
• Odvod se nanaša na stopnjo spremembe funkcije, medtem ko se razlika nanaša na dejansko spremembo funkcije, ko je neodvisna spremenljivka podvržena spremembi.
• Izpeljanka je podana z [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], vendar je razlika podana z [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
