Derivativ proti integralu
Diferenciacija in integracija sta dve temeljni operaciji v programu Calculus. Imajo številne aplikacije na več področjih, kot so matematika, inženiring in fizika. Tako derivat kot integral razpravljata o obnašanju funkcije ali obnašanju fizične entitete, ki nas zanima.
Kaj je izpeljanka?
Predpostavimo, da je y=ƒ(x) in x0 v domeni ƒ. Potem limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx se imenuje trenutna stopnja spremembe ƒ pri x0, če ta meja obstaja končno. Ta meja se imenuje tudi odvod at in je označena z ƒ(x).
Vrednost odvoda funkcije f v poljubni točki x v domeni funkcije je podana z limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. To je označeno s katerim koli od naslednjih izrazov: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Za funkcije z več spremenljivkami definiramo delni odvod. Delni odvod funkcije z več spremenljivkami je njen odvod glede na eno od teh spremenljivk ob predpostavki, da so druge spremenljivke konstante. Simbol delnega derivata je ∂.
Geometrično lahko odvod funkcije interpretiramo kot naklon krivulje funkcije ƒ(x).
Kaj je Integral?
Integracija ali antidiferenciacija je obraten proces diferenciacije. Z drugimi besedami, to je postopek iskanja izvirne funkcije, ko je podan odvod funkcije. Zato lahko integral ali protiodvod funkcije ƒ(x), če je ƒ(x)=F (x), definiramo kot funkcijo F (x) za vse x v domeni ƒ(x).
Izraz ∫ƒ(x) dx označuje odvod funkcije ƒ(x). Če je ƒ(x)=F (x), potem je ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, kjer je C konstanta, ∫ƒ(x) dx imenujemo nedoločen integral od ƒ(x).
Za katero koli funkcijo ƒ, ki ni nujno nenegativna in je definirana na intervalu [a, b], a∫b ƒ(x) dx imenujemo določen integral ƒ na [a, b].
Določeni integral a∫bƒ(x) dx funkcije ƒ(x) lahko geometrijsko interpretiramo kot ploščino območje, omejeno s krivuljo ƒ(x), osjo x in premicama x=a in x=b.
Kakšna je razlika med izpeljavo in integralom?
• Odvod je rezultat diferenciacije procesa, integral pa rezultat integracije procesa.
• Odvod funkcije predstavlja naklon krivulje na kateri koli dani točki, medtem ko integral predstavlja površino pod krivuljo.
