Asociativno proti komutativnemu
V vsakdanjem življenju moramo uporabiti številke, kadar koli moramo nekaj izmeriti. V trgovini, na bencinski črpalki in celo v kuhinji moramo seštevati, odštevati in množiti dve ali več količin. Iz naše prakse te izračune izvajamo brez težav. Nikoli ne opazimo ali se vprašamo, zakaj te operacije izvajamo na ta poseben način. Ali zakaj teh izračunov ni mogoče narediti na drugačen način. Odgovor se skriva v načinu definiranja teh operacij na matematičnem področju algebre.
V algebri je operacija, ki vključuje dve količini (kot je seštevanje), definirana kot binarna operacija. Natančneje gre za operacijo med dvema elementoma iz niza in ti elementi se imenujejo "operand". Številne operacije v matematiki, vključno z prej omenjenimi aritmetičnimi operacijami in tistimi, ki jih najdemo v teoriji množic, linearni algebri in matematični logiki, je mogoče opredeliti kot binarne operacije.
Obstaja nabor vodilnih pravil, ki se nanašajo na določeno binarno operacijo. Asociativne in komutativne lastnosti sta dve temeljni lastnosti binarnih operacij.
Več o komutativni lastnosti
Predpostavimo, da je na elementih A in B izvedena neka binarna operacija, označena s simbolom ⊗. Če vrstni red operandov ne vpliva na rezultat operacije, potem rečemo, da je operacija komutativna. tj. če je A ⊗ B=B ⊗ A, potem je operacija komutativna.
Aritmetični operaciji seštevanje in množenje sta komutativni. Vrstni red števil, seštetih ali pomnoženih, ne vpliva na končni odgovor:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Toda v primeru deljenja sprememba v vrstnem redu daje recipročno vrednost drugega, pri odštevanju pa sprememba daje negativno drugo. Zato
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 in 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 in 5 ÷ 4=1,25 [v tem primeru A, B ≠ 1 in 0]
Pravzaprav naj bi bilo odštevanje antikomutativno; kjer je A – B=– (B – A).
Prav tako so komutativni logični vezniki, konjunkcija, disjunkcija, implikacija in ekvivalenca. Funkcije resnice so tudi komutativne. Unija in presečišče množice sta komutativni. Komutativna sta tudi seštevanje in skalarni produkt vektorjev.
Toda vektorsko odštevanje in vektorski produkt nista komutativna (vektorski produkt dveh vektorjev je antikomutativen). Seštevanje matrik je komutativno, vendar množenje in odštevanje nista komutativna.(Množenje dveh matrik je lahko komutativno v posebnih primerih, kot je množenje matrike z njeno inverzno ali identitetno matriko; vsekakor pa matrike niso komutativne, če matriki nista enake velikosti)
Več o asociativni lastnosti
Za binarno operacijo pravimo, da je asociativna, če vrstni red izvajanja ne vpliva na rezultat, ko sta prisotna dva ali več pojavitev operatorja. Upoštevajte elemente A, B in C ter binarno operacijo ⊗. Za operacijo ⊗ pravimo, da je asociativna, če
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Od osnovnih aritmetičnih funkcij sta samo seštevanje in množenje asociativna.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Odštevanje in deljenje nista asociativna;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 in (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 in (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Logični vezniki disjunkcija, konjunkcija in ekvivalenca so asociativni, prav tako množične operacije unija in presek. Matrični in vektorski dodatek sta asociativna. Skalarni produkt vektorjev je asociativen, vektorski produkt pa ne. Matrično množenje je asociativno samo v posebnih okoliščinah.
Kakšna je razlika med komutativno in asociativno lastnostjo?
• Tako asociativna lastnost kot komutativna lastnost sta posebni lastnosti binarnih operacij in nekatere ju izpolnjujejo, druge pa ne.
• Te lastnosti lahko vidimo v številnih oblikah algebrskih operacij in drugih binarnih operacij v matematiki, kot sta presečišče in unija v teoriji množic ali logičnih konektivih.
• Razlika med komutativnostjo in asociativnostjo je v tem, da komutativna lastnost navaja, da vrstni red elementov ne spremeni končnega rezultata, medtem ko asociativna lastnost navaja, da vrstni red, v katerem se izvaja operacija, ne vpliva na končni odgovor.
