Povprečje proti mediani proti načinu
Povprečje, mediana in način so primarne mere osrednje težnje, ki se uporabljajo v deskriptivni statistiki. Med seboj se popolnoma razlikujejo in različni so tudi primeri, v katerih se uporabljajo za povzemanje podatkov.
Mean
Aritmetična sredina je vsota vrednosti podatkov, deljena s številom vrednosti podatkov, tj.
[lateks]\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2} +x_{3}+…+x_{n}}{n}[/latex]
Če so podatki iz vzorčnega prostora, se imenujejo vzorčna sredina ([latex]\bar{x} [/latex]), ki je opisna statistika vzorca. Čeprav je to najpogosteje uporabljena opisna mera za vzorec, ni zanesljiva statistika. Je zelo občutljiv na izstopajoče vrednosti in nihanja.
Na primer, upoštevajte povprečni dohodek državljanov določenega mesta. Ker se vse vrednosti podatkov seštejejo in nato delijo, dohodek izjemno bogate osebe pomembno vpliva na povprečje. Zato srednje vrednosti niso vedno dobra predstavitev podatkov.
Poleg tega se v primeru izmeničnega signala tok, ki teče skozi element, periodično spreminja iz pozitivne smeri v negativno smer in obratno. Če vzamemo povprečni tok, ki teče skozi element v enem obdobju, bo dal 0, kar pomeni, da skozi element ni šel noben tok, kar očitno ni res. Zato tudi v tem primeru aritmetična sredina ni dobro merilo.
Aritmetična sredina je dober pokazatelj, ko so podatki enakomerno porazdeljeni. Za normalno porazdelitev je povprečje enako modi in mediani. Ima tudi najnižje ostanke, če upoštevamo koren srednje kvadratne napake; zato je najboljša opisna mera, ko je treba nabor podatkov predstaviti z eno številko.
Mediana
Vrednosti srednje podatkovne točke po razporeditvi vseh podatkovnih vrednosti v naraščajočem vrstnem redu so definirane kot mediana nabora podatkov. Mediana je 2. kvartil, 5. decil in 50. percentil.
• Če je število opazovanj (podatkovnih točk) liho, je mediana opazovanje točno na sredini urejenega seznama.
• Če je število opazovanj (podatkovnih točk) sodo, je mediana povprečje dveh srednjih opazovanj na urejenem seznamu.
Mediana razdeli opazovanje v dve skupini; tj. skupina (50 %) vrednosti, ki so višje, in skupina (50 %) vrednosti, nižje od mediane. Mediane se uporabljajo posebej pri poševnih porazdelitvah in predstavljajo podatke precej bolje kot aritmetična sredina.
Način
Mode je najpogosteje pojavljajoče se število v nizu opazovanj. Način nabora podatkov se izračuna z iskanjem frekvence vsakega elementa v naboru.
• Če se nobena vrednost ne pojavi več kot enkrat, nabor podatkov nima načina.
• V nasprotnem primeru je vsaka vrednost, ki se pojavi z največjo frekvenco, način nabora podatkov.
V kompletu lahko obstaja več kot 1 način; zato način ni edinstvena statistika nabora podatkov. Pri enakomerni porazdelitvi obstaja en način. Način diskretne porazdelitve verjetnosti je točka, kjer funkcija verjetnostne mase doseže najvišjo točko. Na podlagi zgornjih interpretacij lahko rečemo, da so globalni maksimumi načini.
Razmislite o uporabi vseh treh ukrepov za naslednji niz podatkov.
PODATKI: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 15, 15}
Povprečje=(1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8+ 8+ 9+ 9+ 9+ 9+ 10+ 10+ 10+ 14+ 14+ 15+ 15+ 15) / 25=8,12
Mediana=9 (13. element)
Način=9 (frekvenca 9=5)
Kakšna je razlika med povprečjem, mediano in načinom?
• Aritmetična sredina je vsota vrednosti (opazanj), deljena s številom opazovanj. To ni robustna statistika in je močno odvisna od normalne narave porazdelitve znotraj obravnavane porazdelitve. En sam izstop lahko povzroči pomemben premik v povprečju, kar daje razmeroma zavajajoče vrednosti. Koncept je mogoče razširiti na geometrično sredino, harmonično sredino, uteženo sredino in tako naprej.
• Mediana je srednje vrednosti nabora opazovanj in nanjo razmeroma manj vplivajo odstopanja. Lahko daje dobro oceno kot povzetek statistike v zelo poševnih primerih.
• Način so najpogostejše vrednosti opazovanja v naboru podatkov. Če je porazdelitev pozitivno poševna, leži moda levo od mediane in, če je negativno zakrivljena, leži moda desno od mediane.
• Če je pozitivno poševno, je povprečje desno od mediane; če je negativno poševno povprečje levo od mediane.
• V normalni porazdelitvi so vsi trije, povprečje, način in mediana enaki.
