Razlika med Riemannovim in Lebesguevim integralom

2024 Avtor: Alex Aldridge | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 13:49

Riemannov integral proti Lebesguevemu integralu

Integracija je glavna tema v računstvu. V širšem smislu lahko integracijo razumemo kot obratni proces diferenciacije. Pri modeliranju problemov iz resničnega sveta je enostavno napisati izraze, ki vključujejo izpeljanke. V takšni situaciji je potrebna operacija integracije, da se najde funkcija, ki je dala določeno izpeljanko.

Z drugega zornega kota je integracija proces, ki sešteje produkt funkcije ƒ(x) in δx, kjer je δx določena meja. Zato uporabljamo integracijski simbol kot ∫. Simbol ∫ je pravzaprav tisto, kar dobimo, če črko s raztegnemo na vsoto.

Riemannov integral

Upoštevajte funkcijo y=ƒ(x). Integral y med a in b, kjer a in b pripadata množici x, je zapisan kot _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). To se imenuje določen integral enovrednosti in zvezne funkcije y=ƒ(x) med a in b. To daje površino pod krivuljo med a in b. To se imenuje tudi Riemannov integral. Riemannov integral je ustvaril Bernhard Riemann. Riemannov integral zvezne funkcije temelji na Jordanovi meri, zato je definiran tudi kot limita Riemannove vsote funkcije. Za realno vrednoteno funkcijo, definirano na zaprtem intervalu, je Riemannov integral funkcije glede na particijo x₁, x₂, …, x n _{definiran na intervalu [a, b] in t}1_{, t}2_{, …, t n}, kjer je x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 za vsak i ε {1, 2, …, n} je Riemannova vsota definirana kot Σ_{i=o do n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue je druga vrsta integrala, ki pokriva veliko različnih primerov kot Riemannov integral. Lebesgueov integral je uvedel Henri Lebesgue leta 1902. Legesguevo integracijo lahko obravnavamo kot posplošitev Riemannove integracije.

Zakaj moramo preučevati še en integral?

Upoštevajmo karakteristično funkcijo ƒ_{A (x)=}{_{0 if, x not ε A}^{1 če je x ε A}na množici A. Potem je končna linearna kombinacija značilnih funkcij, ki je definirana kot F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) imenujemo enostavna funkcija, če je E} i _{merljiva za vsak i. Lebesgueov integral F (x) nad E je označen z} E_{∫ ƒ(x)dx. Funkcija F (x) ni Riemannova integrabilna. Zato je Lebesgueov integral preoblikovan Riemannov integral, ki ima nekatere omejitve glede funkcij, ki jih je treba integrirati.}

Kakšna je razlika med Riemannovim in Lebesguevim integralom?

· Lebesgueov integral je generalizacijska oblika Riemannovega integrala.

· Lebesgueov integral dovoljuje šteto neskončnost diskontinuitet, medtem ko Riemannov integral dovoljuje končno število diskontinuitet.