Razlika med potenčnimi in Taylorjevimi vrstami

2024 Avtor: Alex Aldridge | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 13:49

Power Series vs Taylor Series

V matematiki je realno zaporedje urejen seznam realnih števil. Formalno je to funkcija iz množice naravnih števil v množico realnih števil. Če je _n n^th člen zaporedja, zaporedje označimo z ali z ₁, a ₂, …, a_n, …. Upoštevajte na primer zaporedje 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Označimo ga lahko kot {1/n}.}

Serije je mogoče definirati z zaporedji. Niz je vsota členov zaporedja. Zato je za vsako zaporedje povezano zaporedje in obratno. Če je {a_{n} zaporedje, ki ga obravnavamo, potem lahko niz, ki ga tvori to zaporedje, predstavimo kot:}

Tako je v zgornjem primeru povezana serija 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Kot pove že ime, je potenčna vrsta posebna vrsta serije in se v veliki meri uporablja v numerični analizi in sorodnem matematičnem modeliranju. Taylorjeva serija je posebna stopenjska vrsta, ki ponuja alternativni način predstavljanja dobro znanih funkcij, ki ga je enostavno manipulirati.

Kaj je potenčna vrsta?

Potenčna vrsta je vrsta oblike

ki je konvergenten (možno) za nek interval s središčem v c. Koeficienti a_{nso lahko realna ali kompleksna števila in so neodvisni od x; tj. navidezna spremenljivka.}

Na primer, z nastavitvijo a_n=1 za vsak n in c=0, potenčna vrsta 1+x+x² +…..+ x^{+… dobimo. Zlahka je opaziti, da ko je x ε (-1, 1), ta potenčna vrsta konvergira k 1/(1-x).}

Potenčna vrsta konvergira, ko je x=c. Druge vrednosti x, za katere potenčne vrste konvergirajo, bodo vedno v obliki odprtega intervala s središčem v c. To pomeni, da bo obstajala vrednost 0≤ R ≤ ∞, tako da je za vsak x, ki ustreza |x-c|≤ R, potenčna vrsta konvergentna in za vsak x, ki izpolnjuje |x-c|> R, je potenčna vrsta divergentna. Ta vrednost R se imenuje polmer konvergence potenčne vrste (R lahko zavzame katero koli realno vrednost ali pozitivno neskončnost).

Potenčne vrste je mogoče seštevati, odštevati, množiti in deliti po naslednjih pravilih. Razmislite o dveh vrstah moči:

Potem,

tj. podobni izrazi seštevajo ali odštevajo. Prav tako je možno pomnožiti in deliti dve potenčni vrsti z uporabo identitete,

Kaj je serija Taylor?

Taylorjev niz je definiran za funkcijo f (x), ki je neskončno diferenciabilna na intervalu. Predpostavimo, da je f (x) diferencibilna na intervalu s središčem v c. Nato potenčna vrsta, ki je podana z

se imenuje Taylorjev niz funkcije f (x) okoli c. (Tukaj f⁽ⁿ⁾ (c) označuje n^{th derivat pri x=c). V numerični analizi se končno število členov v tej neskončni razširitvi uporablja pri izračunu vrednosti na točkah, kjer je serija konvergentna k prvotni funkciji.}

Za funkcijo f (x) pravimo, da je analitična v intervalu (a, b), če za vsak x ε (a, b) Taylorjev niz f (x) konvergira k funkciji f (x). Na primer, 1/(1-x) je analitičen na (-1, 1), saj je njegova Taylorjeva razširitev 1+x+x²+….+ x ^{+… konvergira k funkciji na tem intervalu in e}x ^{je povsod analitičen, saj Taylorjeva vrsta e}x ^{konvergira k e} x ^{za vsako realno število x.}

Kakšna je razlika med Power in Taylorjevo vrsto?

1. Taylorjeva vrsta je poseben razred potenčnih vrst, definiran samo za funkcije, ki so neskončno diferencibilne na nekem odprtem intervalu.

2. Serija Taylor ima posebno obliko

ker je potenčna vrsta lahko katera koli vrsta oblike