Razlika med integracijo in seštevanjem

2024 Avtor: Alex Aldridge | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 13:49

Integracija proti seštevanju

V zgornji srednješolski matematiki se v matematičnih operacijah pogosto pojavljata integracija in seštevanje. Zdi se, da se uporabljajo kot različna orodja in v različnih situacijah, vendar so zelo tesno povezani.

Več o seštevanju

Seštevanje je operacija seštevanja zaporedja števil in operacijo pogosto označujemo z grško veliko črko sigma Σ. Uporablja se za okrajšavo seštevka in je enak vsoti/vsoti zaporedja. Pogosto se uporabljajo za predstavitev nizov, ki so v bistvu sestavljena neskončna zaporedja. Uporabljajo se lahko tudi za označevanje vsote vektorjev, matrik ali polinomov.

Seštevanje se običajno izvede za obseg vrednosti, ki jih je mogoče predstaviti s splošnim izrazom, kot je vrsta, ki ima skupni izraz. Začetna in končna točka seštevka sta znani kot spodnja in zgornja meja seštevka.

Na primer vsota zaporedja a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n je ₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, ki ga je mogoče enostavno predstaviti z zapisom seštevka kot ∑ _i=1 a_{i; i imenujemo indeks seštevka.}

Številne različice se uporabljajo za seštevek glede na aplikacijo. V nekaterih primerih sta lahko zgornja in spodnja meja podani kot interval ali obseg, na primer ∑_1≤i≤100 a_i in ∑_{i∈[1, 100]} a_i Lahko pa je podana kot niz števil, kot je ∑_i∈P a_{i, kjer je P definirana množica.}

V nekaterih primerih je mogoče uporabiti dva ali več sigma znakov, vendar jih je mogoče posplošiti na naslednji način; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Poleg tega seštevanje sledi številnim algebrskim pravilom. Ker je vdelana operacija seštevanje, je mogoče mnoga običajna pravila algebre uporabiti za same vsote in za posamezne člene, ki jih prikazuje seštevek.

Več o integraciji

Integracija je definirana kot obratni proces diferenciacije. Toda v svojem geometrijskem pogledu ga lahko obravnavamo tudi kot območje, ki ga oklepata krivulja funkcije in os. Zato izračun površine daje vrednost določenega integrala, kot je prikazano na diagramu.

Vir slike:

Vrednost določenega integrala je pravzaprav vsota majhnih trakov znotraj krivulje in osi. Ploščina vsakega traku je višina × širina v točki na obravnavani osi. Širina je vrednost, ki jo lahko izberemo, recimo ∆x. In višina je približno vrednost funkcije v obravnavani točki, recimo f (x_{i). Iz diagrama je razvidno, da čim manjši so trakovi, tem bolje se trakovi prilegajo znotraj omejenega območja, zato je boljši približek vrednosti.}

Torej, na splošno lahko določeni integral I med točkama a in b (tj. v intervalu [a, b], kjer je a<b) podamo kot I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, kjer je n število trakov (n=(b-a)/∆x). Ta seštevek površine je mogoče preprosto predstaviti z uporabo zapisa seštevka kot I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Ker je približek boljši, ko je ∆x manjši, lahko vrednost izračunamo, ko je ∆x→0. Zato je smiselno reči I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Kot posplošitev zgornjega koncepta lahko izberemo ∆x na podlagi obravnavanega intervala, indeksiranega z i (izbira širine območja na podlagi položaja). Potem dobimo

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

To je znano kot Reimannov integral funkcije f (x) v intervalu [a, b]. V tem primeru sta a in b znana kot zgornja in spodnja meja integrala. Reimannov integral je osnovna oblika vseh integracijskih metod.

V bistvu je integracija seštevek površine, ko je širina pravokotnika neskončno majhna.

Kakšna je razlika med integracijo in seštevanjem?

• Seštevanje je seštevanje zaporedja števil. Običajno je seštevek podan v tej obliki ∑_i=1 a_{i, ko so členi v zaporedju ima vzorec in se lahko izrazi s splošnim izrazom.}

• Integracija je v bistvu območje, omejeno s krivuljo funkcije, osjo ter zgornjo in spodnjo mejo. To površino je mogoče podati kot vsoto veliko manjših površin, vključenih v omejeno območje.

• Seštevanje vključuje diskretne vrednosti z zgornjo in spodnjo mejo, medtem ko integracija vključuje zvezne vrednosti.

• Integracijo lahko interpretiramo kot posebno obliko seštevanja.

• Pri metodah numeričnega računanja se integracija vedno izvaja kot seštevek.