Linearna enačba proti nelinearni enačbi
V matematiki so algebraične enačbe enačbe, ki so sestavljene z uporabo polinomov. Ko so eksplicitno zapisane, bodo enačbe v obliki P(x)=0, kjer je x vektor n neznanih spremenljivk, P pa polinom. Na primer, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 je algebraična enačba v dveh spremenljivkah, zapisanih eksplicitno. Tudi (x+y)3 =3x2y – 3zy4 je algebraična enačba, vendar v implicitni obliki in bo imel obliko Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, enkrat zapisano izrecno.
Pomembna značilnost algebraične enačbe je njena stopnja. Opredeljena je kot največja potenca členov, ki se pojavljajo v enačbi. Če je izraz sestavljen iz dveh ali več spremenljivk, se vsota eksponentov vsake spremenljivke šteje za potenco izraza. Opazite, da je po tej definiciji P(x, y)=0 stopnje 5, medtem ko je Q(x, y, z)=0 stopnje 5.
Linearne enačbe in nelinearne enačbe so dvodelne, definirane na nizu algebrskih enačb. Stopnja enačbe je dejavnik, ki ju razlikuje med seboj.
Kaj je linearna enačba?
Linearna enačba je algebraična enačba stopnje 1. Na primer, 4x + 5=0 je linearna enačba ene spremenljivke. x + y + 5z=0 in 4x=3w + 5y + 7z sta linearni enačbi 3 oziroma 4 spremenljivk. Na splošno ima linearna enačba n spremenljivk obliko m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Tukaj so xi neznane spremenljivke, mi in b realna števila, kjer je vsako od mi ni nič.
Takšna enačba predstavlja hiperravnino v n-dimenzionalnem evklidskem prostoru. Zlasti linearna enačba z dvema spremenljivkama predstavlja premico v kartezični ravnini, linearna enačba s tremi spremenljivkami pa ravnino v evklidskem 3-prostoru.
Kaj je nelinearna enačba?
Kvadratna enačba je algebraična enačba, ki ni linearna. Z drugimi besedami, nelinearna enačba je algebraična enačba stopnje 2 ali višje. x2 + 3x + 2=0 je nelinearna enačba z eno spremenljivko. x2 + y3+ 3xy=4 in 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 so primeri nelinearnih enačb 3 oziroma 4 spremenljivk.
Nelinearna enačba druge stopnje se imenuje kvadratna enačba. Če je stopnja 3, se imenuje kubična enačba. Enačbi 4. in 5. stopnje se imenujeta kvartna oziroma kvintna enačba. Dokazano je, da ne obstaja analitična metoda za rešitev katere koli nelinearne enačbe stopnje 5, kar velja tudi za vse višje stopnje. Rešljive nelinearne enačbe predstavljajo hiperploskve, ki niso hiperravnine.
Kakšna je razlika med linearno in nelinearno enačbo?
• Linearna enačba je algebrska enačba stopnje 1, nelinearna enačba pa je algebrska enačba stopnje 2 ali višje.
• Čeprav je katera koli linearna enačba analitično rešljiva, ne velja za nelinearne enačbe.
• V n-dimenzionalnem evklidskem prostoru je prostor rešitev n-spremenljivke linearne enačbe hiperravnina, medtem ko je prostor rešitev n-spremenljivke nelinearne enačbe hiperploskev, ki pa ni hiperravnina. (Kvadrike, kubične površine itd.)
