Razlika med transponiranjem in konjugiranim transponiranjem

2024 Avtor: Alex Aldridge | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 13:49

Transponiranje proti konjugiranemu transponiranju

Transponiranje matrike A je mogoče identificirati kot matriko, dobljeno s preureditvijo stolpcev v vrstice ali vrstic v stolpce. Posledično se indeksi vsakega elementa zamenjajo. Bolj formalno je transponiranje matrike A definirano kot

kje

V transponirani matriki ostane diagonala nespremenjena. Toda vsi drugi elementi so zasukani okoli diagonale. Spreminja se tudi velikost matrik iz m×n v n×m.

Transponiranje ima nekaj pomembnih lastnosti, ki omogočajo lažjo manipulacijo matric. Poleg tega so nekatere pomembne transponirane matrike definirane na podlagi njihovih značilnosti. Če je matrika enaka svoji transpoziciji, potem je matrika simetrična. Če je matrika enaka negativu transponiranja, je matrika poševno simetrična.

Konjugirana transpozicija matrike je transpozicija matrike z elementi, zamenjanimi z njenim kompleksnim konjugatom. To pomeni, da je kompleksni konjugat (A^{) definiran kot transpozicija kompleksnega konjugata matrike A.}

A=(Ā)^{T; Podrobno,}

kje

in ā_{ji ε C.}

Znan je tudi kot hermitska transpozicija in hermitska konjugata. Če je konjugirana transpozicija enaka sami matriki, je matrika znana kot hermitska matrika. Če je konjugirana transpozicija enaka negativu matrike, je to poševna hermitska matrika. In če je inverz matrike enak kompleksnemu konjugatu, je matrika enotna.

Podobno imajo vse kompleksne konjugirane posebne matrike tudi posebne lastnosti, ki jih je mogoče uporabiti za enostavno matematično manipulacijo. Konjugirana transpozicija se pogosto uporablja v kvantni mehaniki in z njo povezanih področjih.

Kakšna je razlika med transponiranjem in konjugiranim transponiranjem?

• Transponacijo matrike dobimo tako, da stolpce preuredimo v vrstice ali vrstice v stolpce. Kompleksni konjugat matrike dobimo z zamenjavo vsakega elementa z njegovim kompleksnim konjugatom (tj. x+iy ⇛ x-iy ali obratno). Konjugirano transponiranje dobimo z izvedbo obeh operacij na matriki.

• Zato je konjugirano transponiranje samo transponirana matrika s svojimi kompleksnimi konjugati kot elementi.