Transponiranje proti inverzni matriki
Transponiranje in inverz sta dve vrsti matrik s posebnimi lastnostmi, ki jih srečamo v matrični algebri. Med seboj se razlikujejo in niso tesno povezani, saj so operacije, ki se izvajajo za njihovo pridobitev, drugačne.
Imajo široko uporabo na področju linearne algebre in izpeljanih izvedb, kot je računalništvo.
Več o Transpose Matrix
Transponiranje matrike A je mogoče prepoznati kot matriko, dobljeno s preureditvijo stolpcev v vrstice ali vrstic v stolpce. Posledično se indeksi vsakega elementa zamenjajo. Bolj formalno je prenos matrike A definiran kot
kje
V transponirani matriki ostane diagonala nespremenjena, vsi ostali elementi pa se zasukajo okoli diagonale. Spreminja se tudi velikost matrik iz m×n v n×m.
Transponiranje ima nekaj pomembnih lastnosti, ki omogočajo lažjo manipulacijo matric. Poleg tega so nekatere pomembne transponirane matrike definirane na podlagi njihovih značilnosti. Če je matrika enaka svoji transpoziciji, potem je matrika simetrična. Če je matrika enaka svojemu negativu transponiranja, je matrika poševno simetrična. Konjugirana transpozicija matrike je transpozicija matrike z elementi, zamenjanimi z njenim kompleksnim konjugatom.
Več o inverzni matriki
Inverzna matrika je definirana kot matrika, ki daje identitetno matriko, če jo pomnožimo skupaj. Če je torej AB=BA=I, potem je B inverzna matrika A in A inverzna matrika B. Torej, če upoštevamo B=A -1, potem AA -1 =A -1 A=jaz
Da je matrika obrnljiva, je nujen in zadosten pogoj, da determinanta A ni nič; tj | A |=det(A) ≠ 0. Za matriko pravimo, da je invertibilna, nesingularna ali nedegenerativna, če izpolnjuje ta pogoj. Iz tega sledi, da je A kvadratna matrika in imata A -1 in A enako velikost.
Inverzijo matrike A je mogoče izračunati s številnimi metodami v linearni algebri, kot so Gaussova eliminacija, Eigendecomposition, Choleskyjev razpad in Carmerjevo pravilo. Matriko je mogoče obrniti tudi z metodo inverzije blokov in Neumanovo vrsto.
Kakšna je razlika med transponiranjem in inverzno matriko?
• Transponiranje se pridobi s preurejanjem stolpcev in vrstic v matriki, medtem ko se obratno pridobi z razmeroma težkim numeričnim izračunom. (Toda v resnici sta obe linearni transformaciji)
• Neposreden rezultat tega je, da elementi v transponiranju spremenijo le svoj položaj, vrednosti pa so enake. Toda v obratnem primeru se lahko števila popolnoma razlikujejo od prvotne matrike.
• Vsaka matrika ima lahko transpozicijo, vendar je inverz definiran samo za kvadratne matrike, determinanta pa mora biti neničelna determinanta.
