Hiperbola proti elipsi
Ko je stožec odrezan pod različnimi koti, so različne krivulje označene z robom stožca. Te krivulje pogosto imenujemo stožčasti prerezi. Natančneje, stožčasti presek je krivulja, ki jo dobimo s presekanjem pravilne krožne stožčne ploskve z ravno ploskvijo. Pod različnimi presečnimi koti so podani različni stožci.
Tako hiperbola kot elipsa sta stožčasta preseka in njune razlike je v tem kontekstu enostavno primerjati.
Več o Ellipse
Ko presečišče stožčaste ploskve in ravne ploskve ustvari zaprto krivuljo, je to znano kot elipsa. Ima ekscentričnost med nič in ena (0<e<1). Lahko ga definiramo tudi kot geometrijsko mesto množice točk na ravnini, tako da vsota razdalj do točke od dveh fiksnih točk ostane konstantna. Ti dve fiksni točki sta znani kot "žarišča". (Ne pozabite; pri pouku osnovne matematike se elipse rišejo z vrvico, privezano na dva fiksna žebljička, ali z zanko vrvice in dvema žebljičkoma.)
Odsek črte, ki poteka skozi žarišča, je znan kot velika os, os, ki je pravokotna na glavno os in poteka skozi središče elipse, pa je znana kot mala os. Premeri vzdolž vsake osi so znani kot prečni premer oziroma konjugirani premer. Polovica velike osi je znana kot velika pol os, polovica pomožne osi pa je znana kot mala pol os.
Vsaka točka F1 in F2 sta znani kot žarišča elipse in dolžine F1 + PF2 =2a, kjer je P poljubna točka na elipsi. Ekscentričnost e je definirana kot razmerje med razdaljo od žarišča do poljubne točke (PF 2) in pravokotno razdaljo do poljubne točke od direktrise (PD). Prav tako je enaka razdalji med dvema žariščema in veliko pol osjo: e=PF/PD=f/a
Splošna enačba elipse, ko velika pol os in mala pol os sovpadata s kartezičnimi osemi, je podana takole.
x2/a2 + y2/b2=1
Geometrija elipse ima veliko aplikacij, zlasti v fiziki. Orbite planetov v sončnem sistemu so eliptične s soncem v enem žarišču. Reflektorji za antene in akustične naprave so izdelani v eliptični obliki, da izkoristijo dejstvo, da bo vsaka emisija iz žarišča konvergirala v drugo žarišče.
Več o hiperboli
Hiperbola je prav tako stožčast prerez, vendar je odprt. Izraz hiperbola se nanaša na dve nepovezani krivulji, prikazani na sliki. Namesto da bi se zaprli kot elipsa, se kraki ali veje hiperbole nadaljujejo v neskončnost.
Točke, kjer imata dve veji najkrajšo razdaljo med seboj, so znane kot oglišča. Premica, ki poteka skozi oglišča, se šteje za glavno os ali prečno os in je ena od glavnih osi hiperbole. Tudi žarišči parabole ležita na veliki osi. Razpolovna točka premice med obema ogliščema je središče, dolžina odseka pa je velika pol os. Pravokotna simetrala velike pol osi je druga glavna os, krivulji hiperbole pa sta simetrični okoli te osi. Ekscentričnost parabole je večja od ena; e > 1.
Če glavne osi sovpadajo s kartezičnimi osmi, je splošna enačba hiperbole v obliki:
x2/a2 – y2/b2=1,
kjer je a velika pol os in b razdalja od središča do katerega koli žarišča.
Hiperbole z odprtimi konci, obrnjenimi proti osi x, so znane kot hiperbole vzhod-zahod. Podobne hiperbole lahko dobimo tudi na osi y. Te so znane kot hiperbole osi y. Enačba za takšne hiperbole ima obliko
y2/a2 – x2/b2=1
Kakšna je razlika med hiperbolo in elipso?
• Tako elipse kot hiperbola sta stožčasta preseka, vendar je elipsa zaprta krivulja, medtem ko je hiperbola sestavljena iz dveh odprtih krivulj.
• Zato ima elipsa končen obseg, hiperbola pa neskončno dolžino.
• Oba sta simetrična okoli svoje velike in male osi, vendar je položaj direktrise v vsakem primeru drugačen. V elipsi leži zunaj velike pol osi, v hiperboli pa leži na veliki pol osi.
• Ekscentričnosti obeh koničnih presekov sta različni.
0 <eEllipse < 1
eHiperbola > 0
• Splošna enačba obeh krivulj je videti enaka, vendar sta različni.
• Pravokotna simetrala velike osi seka krivuljo v elipsi, ne pa tudi v hiperboli.
(Vir slik: Wikipedia)
