Kardinal vs Ordinal
V našem vsakodnevnem življenju ima lahko uporaba številk različne oblike v različnih situacijah. Na primer, ko štejemo, da ugotovimo velikost zbirke predmetov, jih štejemo kot ena, dva, tri in tako naprej. Ko želimo nekaj prešteti, da dobimo občutek položaja predmetov, jih štejemo kot prve, druge, tretje in tako naprej. V prvi obliki štetja naj bi bila števila kardinalna števila. Pri drugi obliki štetja štejemo števila kot redna števila. V tem kontekstu sta pojma kardinal in ordinal povsem stvar jezikoslovja; kardinalni in ordinalni sta pridevnika.
Vendar pa razširitev koncepta na množice v matematiki razkriva veliko globljo in širšo perspektivo in je ni mogoče obravnavati preprosto. V tem članku bomo poskušali razumeti temeljne koncepte kardinalnih in rednih števil v matematiki.
Formalne definicije kardinalnih in rednih števil so na voljo v teoriji množic. Definicije so zapletene in za njihovo popolno razumevanje je potrebno osnovno znanje iz teorije množic. Zato se bomo obrnili na nekaj primerov, da bi koncepte razumeli hevristično.
Razmislite o dveh nizih {1, 3, 6, 4, 5, 2} in {avtobus, avto, trajekt, vlak, letalo, helikopter}. Vsak niz navaja niz elementov in če preštejemo število elementov, je razvidno, da ima vsak enako število elementov, to je 6. Pri tem sklepu smo vzeli velikost enega niza in ga primerjali z drugim z uporabo število. Takšno število imenujemo kardinalno število. Zato lahko rečemo, da je kardinalno število število, ki ga lahko uporabimo za primerjavo velikosti končnih množic.
Spet lahko prvi niz števil uredimo v naraščajočem vrstnem redu, pri čemer upoštevamo velikost vsakega elementa in jih primerjamo. V procesu naročanja se številke obravnavajo kot kardinale. Podobno lahko množico vseh nenegativnih celih števil uredimo v množico; tj. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Toda v tem primeru postane velikost množice neskončna in podajanje v smislu ordinalov ni mogoče. Ne glede na to, kako veliko število izberete, da podate velikost nabora, bodo iz nabora, ki ga izberete, še vedno ostala števila, ki so nenegativna cela števila.
Zato matematiki definirajo ta neskončni kardinal (ki je prvi) kot Aleph-0, zapisan kot א (prva črka v hebrejski abecedi). Formalno je redna številka vrsta reda dobro urejenega niza. Zato je lahko redna številka končnih množic podana s kardinalnimi števili, pri neskončnih množicah pa je redna številka podana s transfinitnimi števili, kot je Aleph-0.
Kakšna je razlika med kardinalnimi in zaporednimi števili?
• Kardinalno število je število, ki ga lahko uporabimo za štetje ali podajanje velikosti končne urejene množice. Vsa kardinalna števila so ordinalna.
• Vrstna števila so števila, ki se uporabljajo za podajanje velikosti tako končnih kot neskončnih urejenih množic. Velikost končnih urejenih množic je podana z običajnimi hindujsko-arabskimi algebrskimi številkami, velikost neskončne množice pa s transkončnimi števili.
