Linearne proti nelinearnim diferencialnim enačbam
Enačba, ki vsebuje vsaj en diferencialni koeficient ali odvod neznane spremenljivke, je znana kot diferencialna enačba. Diferencialna enačba je lahko linearna ali nelinearna. Namen tega članka je pojasniti, kaj je linearna diferencialna enačba, kaj je nelinearna diferencialna enačba in kakšna je razlika med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami.
Odkar so v 18. stoletju matematiki, kot sta Newton in Leibnitz, razvili račun, je imela diferencialna enačba pomembno vlogo v zgodbi matematike. Diferencialne enačbe so velikega pomena v matematiki zaradi njihovega obsega uporabe. Diferencialne enačbe so v središču vsakega modela, ki ga razvijemo za razlago katerega koli scenarija ali dogodka na svetu, pa naj gre za fiziko, tehniko, kemijo, statistiko, finančno analizo ali biologijo (seznam je neskončen). Pravzaprav, dokler račun ni postal uveljavljena teorija, ustrezna matematična orodja niso bila na voljo za analizo zanimivih problemov v naravi.
Enačbe, ki izhajajo iz posebne uporabe računa, so lahko zelo zapletene in včasih nerešljive. Vendar pa obstajajo takšni, ki jih lahko rešimo, vendar so lahko videti podobni in zmedeni. Zato so za lažjo identifikacijo diferencialne enačbe kategorizirane glede na njihovo matematično obnašanje. Ena taka kategorizacija je linearno in nelinearno. Pomembno je prepoznati razliko med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami.
Kaj je linearna diferencialna enačba?
Predpostavimo, da je f: X→Y in f(x)=y, diferencialna enačba brez nelinearnih členov neznane funkcije y in njenih odvodov je znana kot linearna diferencialna enačba.
Nalaga pogoj, da y ne more imeti višjih indeksnih izrazov, kot je y2, y3, … in večkratnikov izpeljank, kot kot
Prav tako ne more vsebovati nelinearnih izrazov, kot so Sin y, e y ^-2 ali ln y. Ima obliko,
kjer sta y in g funkciji x. Enačba je diferencialna enačba reda n, ki je indeks odvoda najvišjega reda.
V linearni diferencialni enačbi je diferencialni operator linearni operator in rešitve tvorijo vektorski prostor. Zaradi linearne narave nabora rešitev je linearna kombinacija rešitev tudi rešitev diferencialne enačbe. Če sta y1 in y2 rešitve diferencialne enačbe, potem C1 y 1+ C2 y2 je tudi rešitev.
Linearnost enačbe je samo en parameter klasifikacije in jo lahko nadalje kategoriziramo v homogene ali nehomogene ter navadne ali parcialne diferencialne enačbe. Če je funkcija g=0, je enačba linearna homogena diferencialna enačba. Če je f funkcija dveh ali več neodvisnih spremenljivk (f: X, T→Y) in f(x, t)=y, potem je enačba linearna parcialna diferencialna enačba.
Metoda reševanja diferencialne enačbe je odvisna od vrste in koeficientov diferencialne enačbe. Najlažji primer nastane, ko so koeficienti konstantni. Klasičen primer za ta primer je Newtonov drugi zakon gibanja in njegove različne uporabe. Newtonov drugi zakon ustvari linearno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti.
Kaj je nelinearna diferencialna enačba?
Enačbe, ki vsebujejo nelinearne člene, so znane kot nelinearne diferencialne enačbe.
Vse zgoraj so nelinearne diferencialne enačbe. Nelinearne diferencialne enačbe je težko rešiti, zato je za pridobitev pravilne rešitve potrebna natančna študija. V primeru parcialnih diferencialnih enačb večina enačb nima splošne rešitve. Zato je treba vsako enačbo obravnavati neodvisno.
Navier-Stokesova enačba in Eulerjeva enačba v dinamiki tekočin, Einsteinove enačbe polja splošne teorije relativnosti so dobro znane nelinearne parcialne diferencialne enačbe. Včasih lahko uporaba Lagrangeove enačbe na sistem spremenljivk povzroči sistem nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb.
Kakšna je razlika med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami?
• Diferencialna enačba, ki ima samo linearne člene neznane ali odvisne spremenljivke in njenih derivatov, je znana kot linearna diferencialna enačba. Nima člena z odvisno spremenljivko indeksa, višjega od 1, in ne vsebuje večkratnika svojih izpeljank. Ne more imeti nelinearnih funkcij, kot so trigonometrične funkcije, eksponentne funkcije in logaritemske funkcije glede na odvisno spremenljivko. Vsaka diferencialna enačba, ki vsebuje zgoraj omenjene člene, je nelinearna diferencialna enačba.
• Rešitve linearnih diferencialnih enačb ustvarjajo vektorski prostor in diferencialni operator je prav tako linearni operator v vektorskem prostoru.
• Rešitve linearnih diferencialnih enačb so razmeroma lažje in splošne rešitve obstajajo. Za nelinearne enačbe v večini primerov splošna rešitev ne obstaja in rešitev je lahko specifična za problem. Zaradi tega je rešitev veliko težja od linearnih enačb.
