Pravokotno vs. Ortonormalno
V matematiki se besedi ortogonalno in ortonormalno pogosto uporabljata skupaj z nizom vektorjev. Tu se izraz "vektor" uporablja v smislu, da je element vektorskega prostora - algebraične strukture, ki se uporablja v linearni algebri. Za našo razpravo bomo upoštevali prostor notranjega produkta – vektorski prostor V skupaj z notranjim produktom , definiranim na V.
Na primer, za notranji produkt je prostor niz vseh 3-dimenzionalnih vektorjev položaja skupaj z običajnim pikčastim produktom.
Kaj je ortogonalno?
Neprazna podmnožica S prostora notranjega produkta V je pravokotna, če in samo če je za vsak različni u, v v S [u, v]=0; tj. notranji produkt u in v je enak ničelnemu skalarju v prostoru notranjega produkta.
Na primer, v nizu vseh 3-dimenzionalnih vektorjev položaja je to enakovredno trditvi, da sta za vsak ločen par vektorjev položaja p in q v S, p in q pravokotna drug na drugega. (Ne pozabite, da je notranji zmnožek v tem vektorskem prostoru pikčasti produkt. Prav tako je pikčasti produkt dveh vektorjev enak 0, če in samo če sta vektorja pravokotna drug na drugega.)
Upoštevajte množico S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, ki je podmnožica 3-dimenzionalnih vektorjev položaja. Upoštevajte, da je (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Zato je množica S pravokotna. Zlasti velja, da sta dva vektorja pravokotna, če je njun notranji produkt enak 0. Zato je vsak par vektorjev v Si pravokoten.
Kaj je ortonormalno?
Neprazna podmnožica S prostora notranjega produkta V je ortonormirana, če in samo če je S pravokoten in je za vsak vektor u v S [u, u]=1. Zato je razvidno, da vsaka ortonormirana množica je pravokotna, ne pa tudi obratno.
Na primer, v nizu vseh 3-dimenzionalnih vektorjev položaja je to enakovredno trditvi, da sta za vsak ločen par vektorjev položaja p in q v S, p in q pravokotna drug na drugega, in za vsak p v S, |p|=1. To je zato, ker se pogoj [p, p]=1 zmanjša na p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, kar je enakovredno |p |=1. Zato lahko glede na ortogonalno množico vedno oblikujemo ustrezno ortonormirano množico tako, da vsak vektor delimo z njegovo velikostjo.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} je ortonormirana podmnožica množice vseh 3-dimenzionalnih vektorjev položaja. Preprosto je videti, da je bil dobljen z delitvijo vsakega od vektorjev v nizu S z njihovimi velikostmi.
Kakšna je razlika med ortogonalnim in ortonormalnim?
- Neprazna podmnožica S prostora notranjega produkta V je pravokotna, če in samo če je za vsak različni u, v v S [u, v]=0. Vendar pa je ortonormirana, če in samo, če je izpolnjen dodatni pogoj – za vsak vektor u v S je [u, u]=1.
- Vsak ortonormiran niz je pravokoten, ne pa tudi obratno.
- Katera koli pravokotna množica ustreza edinstveni ortonormirani množici, vendar lahko ortonormirana množica ustreza številnim pravokotnim množicam.
