Razlika med aritmetično in geometrijsko vrsto

2024 Avtor: Alex Aldridge | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 13:49

Aritmetična proti geometrijskim vrstam

Matematična definicija serije je tesno povezana z zaporedji. Zaporedje je urejena množica števil in je lahko končna ali neskončna množica. Zaporedje števil, pri čemer je razlika med dvema elementoma konstanta, je znano kot aritmetična progresija. Zaporedje s konstantnim kvocientom dveh zaporednih števil je znano kot geometrijska progresija. Te progresije so lahko končne ali neskončne, in če so končne, je število členov šteto, sicer pa nešteto.

Na splošno lahko vsoto elementov v napredovanju definiramo kot niz. Vsota aritmetične progresije je znana kot aritmetična vrsta. Podobno je vsota geometrijske progresije znana kot geometrijska vrsta.

Več o aritmetičnih serijah

V aritmetičnem nizu imajo zaporedni členi konstantno razliko.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; kjer je a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d in tako naprej.}

Ta razlika d je znana kot skupna razlika, n^th člen pa je podan z a_n =a ₁+ (n-1)d; kjer je a_{1 prvi izraz.}

Vedenje serije se spreminja glede na skupno razliko d. Če je skupna razlika pozitivna, napredovanje teži k pozitivni neskončnosti, če pa je skupna razlika negativna, teži k negativni neskončnosti.

Vsoto vrste je mogoče dobiti z naslednjo preprosto formulo, ki jo je prvi razvil indijski astronom in matematik Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Vsota S_{n je lahko končna ali neskončna glede na število členov.}

Več o geometrijskih vrstah

Geometrijska vrsta je vrsta s konstanto količnika zaporednih števil. Gre za pomembno serijo, ki smo jo ugotovili v študiji serije, zaradi lastnosti, ki jih ima.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Na podlagi razmerja r lahko obnašanje niza kategoriziramo na naslednji način. r={|r|≥1 serija se razhaja; r≤1 vrsta konvergira}. Poleg tega, če je r<0, niz oscilira, kar pomeni, da ima niz izmenične vrednosti.

Vsoto geometrijskega niza lahko izračunamo z naslednjo formulo. S_n =a(1-r) / (1-r); kjer je a začetni člen in r je razmerje. Če je razmerje r≤1, serija konvergira. Za neskončno vrsto je vrednost konvergence podana s S_{n=a / (1-r).}

Geometrična serija ima številne aplikacije na področju fizikalnih znanosti, tehnike in ekonomije

Kakšna je razlika med aritmetično in geometrijsko vrsto?

• Aritmetična vrsta je vrsta s konstantno razliko med dvema sosednjima členoma.

• Geometrijska vrsta je vrsta s konstantnim kvocientom med dvema zaporednima členoma.

• Vse neskončne aritmetične vrste so vedno divergentne, vendar so lahko geometrijske vrste konvergentne ali divergentne glede na razmerje.

• Geometrijske vrste lahko nihajo v vrednostih; to pomeni, da števila izmenično spreminjajo svoje predznake, vendar aritmetična serija ne more imeti nihanj.