Diferencialna enačba proti diferencialni enačbi
Naravni pojav je mogoče matematično opisati s funkcijami številnih neodvisnih spremenljivk in parametrov. Še posebej, če so izraženi s funkcijo prostorske lege in časa, to povzroči enačbe. Funkcija se lahko spremeni s spremembo neodvisnih spremenljivk ali parametrov. Neskončno majhna sprememba, ki se zgodi v funkciji, ko se spremeni ena od njenih spremenljivk, se imenuje odvod te funkcije.
Diferencialna enačba je katera koli enačba, ki vsebuje odvode funkcije in samo funkcijo. Preprosta diferencialna enačba je Newtonov drugi zakon gibanja. Če se predmet z maso m giblje s pospeškom 'a' in nanj deluje sila F, nam Newtonov drugi zakon pove, da je F=ma. Tudi tukaj se "a" spreminja s časom, "a" lahko prepišemo kot; a=dv/dt; v je hitrost. Hitrost je funkcija prostora in časa, to je v=ds/dt; torej 'a'=d2s/dt2
Upoštevajoč to, lahko Newtonov drugi zakon prepišemo kot diferencialno enačbo;
'F' kot funkcija v in t – F(v, t)=mdv/dt ali
'F' kot funkcija s in t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Obstajata dve vrsti diferencialnih enačb; navadna diferencialna enačba, skrajšano ODE ali parcialna diferencialna enačba, skrajšano PDE. Navadna diferencialna enačba bo imela navadne odvode (odvode le ene spremenljivke). Parcialna diferencialna enačba bo vsebovala diferencialne odvode (odvode več kot ene spremenljivke).
npr. F=m d2s/dt2 je ODE, medtem ko je α2 d 2u/dx2=du/dt je PDE, ima izpeljanke t in x.
Diferencialna enačba je enaka kot diferencialna enačba, vendar jo gledamo v drugačnem kontekstu. V diferencialnih enačbah se neodvisna spremenljivka, kot je čas, obravnava v kontekstu zveznega časovnega sistema. V diskretnem časovnem sistemu imenujemo funkcijo kot diferenčno enačbo.
Diferenčna enačba je funkcija diferenc. Razlike v neodvisnih spremenljivkah so tri vrste; zaporedje številk, diskretni dinamični sistem in ponavljajoča se funkcija.
V zaporedju števil se sprememba generira rekurzivno z uporabo pravila za povezavo vsake številke v zaporedju s prejšnjimi številkami v zaporedju.
Diferenčna enačba v diskretnem dinamičnem sistemu vzame nekaj diskretnega vhodnega signala in proizvede izhodni signal.
Diferenčna enačba je iterirani zemljevid za iterirano funkcijo. Npr. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….je zaporedje ponavljajoče se funkcije. F(y0) je prva iteracija y0 K-ta iteracija bo označena s fk (y0).
