Diferenciacija proti izpeljanki
V diferencialnem računu sta odvod in diferenciacija tesno povezana, vendar zelo različna in se uporabljata za predstavitev dveh pomembnih matematičnih konceptov, povezanih s funkcijami.
Kaj je derivat?
Izpeljanka funkcije meri hitrost, s katero se spreminja vrednost funkcije, ko se spreminja njen vnos. Pri funkcijah z več spremenljivkami je sprememba vrednosti funkcije odvisna od smeri spremembe vrednosti neodvisnih spremenljivk. Zato se v takih primerih izbere določena smer in funkcija se diferencira v tej določeni smeri. Ta odvod se imenuje usmerjeni odvod. Delni derivati so posebna vrsta smernih derivatov.
Izpeljavo vektorsko vredne funkcije f lahko definiramo kot limit [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] kjerkoli obstaja končno. Kot smo že omenili, nam to poda hitrost naraščanja funkcije f vzdolž smeri vektorja u. V primeru funkcije z eno vrednostjo se to zmanjša na dobro znano definicijo odvoda [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Na primer, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je povsod razločljiv in odvod je enak meji, [latex]\\lim_{h \\do 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], kar je enako [latex]3x^{2}+4[/latex]. Izpeljanke funkcij, kot so [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex], obstajajo povsod. Enako sta funkciji [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
To je znano kot prva izpeljanka. Običajno je prvi odvod funkcije f označen s f (1) S tem zapisom je zdaj mogoče definirati odvode višjega reda. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je smerni derivat drugega reda in označuje n th derivacijo s f (n) za vsak n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definira n th derivat.
Kaj je diferenciacija?
Diferenciranje je postopek iskanja odvoda diferenciable funkcije. D-operator, označen z D, v nekaterih kontekstih predstavlja diferenciacijo. Če je x neodvisna spremenljivka, potem je D ≡ d/dx. D-operator je linearen operator, tj. za kateri koli dve diferenciabilni funkciji f in g ter konstanto c veljajo naslednje lastnosti.
jaz. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Z uporabo D-operatorja lahko druga pravila, povezana z diferenciacijo, izrazimo na naslednji način. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 in D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Na primer, ko je F(x)=x 2sin x diferenciran glede na x z uporabo danih pravil, bo odgovor 2 x sin x + x2cos x.
Kakšna je razlika med diferenciacijo in izpeljanko?• Izpeljava se nanaša na stopnjo spremembe funkcije • Diferenciranje je postopek iskanja odvoda funkcije. |
