Določeni proti nedoločenim integralom
Računstvo je pomembna veja matematike, diferenciacija pa igra ključno vlogo pri računstvu. Inverzni proces diferenciacije je znan kot integracija, inverzni pa je znan kot integral, ali preprosto povedano, inverz diferenciacije daje integral. Na podlagi rezultatov, ki jih izdelajo, so integrali razdeljeni v dva razreda; določeni in nedoločeni integrali.
Več o nedoločenih integralih
Nedoločeni integral je bolj splošna oblika integracije in si ga lahko razlagamo kot protiodvod obravnavane funkcije. Recimo, da diferenciacija F da f, integracija f pa integral. Pogosto se zapiše kot F(x)=∫ƒ(x)dx ali F=∫ƒ dx, kjer sta tako F kot ƒ funkciji x, F pa je diferenciabilna. V zgornji obliki se imenuje Reimannov integral in nastala funkcija spremlja poljubno konstanto. Nedoločen integral pogosto proizvede družino funkcij; torej je integral nedoločen.
Integrali in proces integracije so jedro reševanja diferencialnih enačb. Vendar za razliko od diferenciacije integracija ne sledi vedno jasni in standardni rutini; včasih rešitve ni mogoče eksplicitno izraziti v smislu elementarne funkcije. V tem primeru je analitična rešitev pogosto podana v obliki nedoločenega integrala.
Več o določenih integralih
Določeni integrali so zelo cenjeni primerki nedoločenih integralov, kjer integracijski proces dejansko proizvede končno število. Grafično jo lahko definiramo kot območje, ki ga znotraj danega intervala omejuje krivulja funkcije ƒ. Kadarkoli se integracija izvede znotraj danega intervala neodvisne spremenljivke, integracija proizvede določeno vrednost, ki je pogosto zapisana kot a∫bƒ(x) dx ali a∫b ƒdx.
Nedoločeni integrali in določeni integrali so med seboj povezani s prvim temeljnim izrekom računa, kar omogoča izračun določenega integrala z uporabo nedoločenih integralov. Izrek navaja a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), kjer sta F in ƒ funkciji x in F je diferenciabilna v intervalu (a, b). Glede na interval sta a in b znana kot spodnja in zgornja meja.
Namesto da bi se ustavili samo pri realnih funkcijah, lahko integracijo razširimo na kompleksne funkcije in te integrale imenujemo konturni integrali, kjer je ƒ funkcija kompleksne spremenljivke.
Kakšna je razlika med določenimi in nedoločenimi integrali?
Nedoločeni integrali predstavljajo antiizvod funkcije in pogosto družino funkcij namesto dokončne rešitve. V določenih integralih daje integracija končno število.
Nedoločeni integrali povezujejo poljubno spremenljivko (torej družina funkcij) in določeni integrali nimajo poljubne konstante, temveč zgornjo in spodnjo mejo integracije.
Nedoločeni integral običajno daje splošno rešitev diferencialne enačbe.
