Medsebojno izključujoči vs neodvisni dogodki
Ljudje pogosto zamenjujejo koncept medsebojno izključujočih se dogodkov z neodvisnimi dogodki. Pravzaprav sta to dve različni stvari.
Naj sta A in B katera koli dva dogodka, povezana z naključnim poskusom E. P(A) se imenuje "verjetnost A". Podobno lahko definiramo verjetnost B kot P(B), verjetnost A ali B kot P(A∪B) in verjetnost A in B kot P(A∩B). Potem je P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Vendar se dva dogodka medsebojno izključujeta, če pojav enega dogodka ne vpliva na drugega. Z drugimi besedami, ne morejo se pojaviti hkrati. Torej, če se dva dogodka A in B medsebojno izključujeta, potem je A∩B=∅ in posledično to implicira P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Naj sta A in B dva dogodka v vzorčnem prostoru S. Pogojna verjetnost A, glede na to, da se je B zgodil, je označena s P(A | B) in definirana kot; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), pod pogojem P(B)>0. (sicer ni definiran.)
Dogodek A je neodvisen od dogodka B, če na verjetnost, da se A zgodi, ne vpliva to, ali se je B zgodil ali ne. Z drugimi besedami, izid dogodka B ne vpliva na izid dogodka A. Zato je P(A | B)=P(A). Podobno je B neodvisen od A, če je P(B)=P(B | A). Zato lahko sklepamo, da če sta A in B neodvisna dogodka, potem P(A∩B)=P(A). P(B)
Predpostavimo, da se vrže oštevilčena kocka in pošten kovanec. Naj bo A dogodek, ko dobimo glavo, B pa dogodek, ki zavrti sodo število. Potem lahko sklepamo, da sta dogodka A in B neodvisna, ker izid enega ne vpliva na izid drugega. Zato je P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Ker P(A∩B)≠0, se A in B ne moreta med seboj izključevati.
Predpostavimo, da je v žari 7 belih frnikol in 8 črnih frnikol. Dogodek A opredelite kot risanje bele frnikole, dogodek B pa kot risanje črne frnikole. Če predpostavimo, da bo vsaka frnikola zamenjana po zapisu njene barve, bosta P(A) in P(B) vedno enaka, ne glede na to, kolikokrat vlečemo iz žare. Zamenjava frnikol pomeni, da se verjetnosti ne spreminjajo od žrebanja do žrebanja, ne glede na to, katero barvo smo izbrali pri zadnjem žrebanju. Zato sta dogodka A in B neodvisna.
Vendar, če so bile frnikole narisane brez zamenjave, potem se vse spremeni. Pod to predpostavko dogodka A in B nista neodvisna. Če prvič izvlečete belo frnikolo, spremenite verjetnost, da boste ob drugem žrebanju izvlekli črno frnikolo in tako naprej. Z drugimi besedami, vsako žrebanje vpliva na naslednje žrebanje, zato posamezna žrebanja niso neodvisna.
Razlika med medsebojno izključujočimi in neodvisnimi dogodki
– Medsebojna izključnost dogodkov pomeni, da med nizoma A in B ni prekrivanja. Neodvisnost dogodkov pomeni, da dogajanje A ne vpliva na dogajanje B.
– Če se dva dogodka A in B med seboj izključujeta, potem je P(A∩B)=0.
– Če sta dva dogodka A in B neodvisna, potem je P(A∩B)=P(A). P(B)
